Problema 4. El problema comienza pidiéndonos el campo eléctrico en todo el espacio, y para calcularlo podríamos hacer uso de varias superficies de Gauss que aprovechen la simetría esférica del sistema. Sin embargo, la forma más sencilla de calcular los campos a esta altura de la materia es haciendo superposición de los conocidos campos de casquetes esféricos de densidad de carga homogénea: en el interior del casquete el campo producido por éste es nulo, y en el exterior se comporta como si toda su carga estuviera situada en su centro (campo de una carga puntual). En consecuencia, surge naturalmente una división del espacio en 3 regiones, como se muestra en la Figura 1, de acuerdo a si el punto campo se encuentra en el interior o exterior de cada casquete. La superposición de cargas puntuales: donde hemos llamado .... a la carga total del conductor, todavía desconocida. Debemos notar que supusimos homogénea, en nuestros cálculos, la distribución de la carga en el conductor. Esta suposición es razonable en vista de la simetría de las distribuciones que inducen carga sobre el conductor (casquete esférico homogéneo y carga puntual central), pero más adelante vamos a necesitar profundizar un poco sobre la distribución de la carga en el conductor. Calculemos ahora el potencial eléctrico en todo el espacio, para poder hacer uso del dato que tenemos sobre el potencial del conductor. Vamos a usar la relación entre el campo y el potencial: .... Que integrada a ambos lados por una curva que una dos puntos r y r0, resulta una buena forma de recordar cómo calcular la diferencia de potencial entre ambos puntos: Usando la ecuación (), calculamos las expresiones para el potencial en las 3 regiones. Recordemos que podemos elegir arbitrariamente la curva entre dos puntos. En particular las curvas radiales son las más sencillas de parametrizar. El cálculo del potencial para la región 3 (): Así tenemos las expresiones para el potencial en todo el espacio. Pero todavía debemos imponer condiciones de contorno para obtener los valores de .... Estas condiciones son: La expresión final para los potenciales resulta: Adicionalmente podemos calcular el valor de ... sabiendo que ... Finalmente, en la Figura 2 podemos ver un gráfico esquemático de ..., consistente en 3 curvas con una dependencia del tipo ..., solapadas en los puntos .... b) Veamos ahora las contribuciones monopolar y dipolar al potencial. Sabemos que podemos expresar el potencial con el siguiente desarrollo en serie: Calculemos el valor del dipolo, cuya expresión es: .... Si tomamos como eje de momento el centro de las esferas (recordemos que si el monopolo no es nulo, el dipolo depende del sistema de coordenadas), la contribución de la carga puntual central al dipolo es trivialmente nula. Dado que el cálculo del momento dipolar de una distribución de carga es matemáticamente análogo al cálculo del centro de masa (en una distribución de masa) va a ser razonable que la contribución dipolar de los casquetes de densidad homogénea sea idénticamente nula: Con lo cual en esta configuración, descartando los términos de orden ... y superiores, sólo tenemos contribución monopolar al potencial. Su valor es: .... Notemos que la aproximación del potencial para distancias lejanas es exactamente la expresión del potencial en la región 3. Y que además, la carga puntual central no entra en juego en esta descripción del potencial, así como tampoco participa en la descripción del campo eléctrico afuera del conductor: .... Dicho de otra forma, la información sobre la cantidad de carga contenida en la cavidad del conductor, se ha perdido afuera del conductor, no es posible conocerla. Pasemos a ver ahora lo que pasa cuando la carga puntual se encuentra descentrada una distancia .... A primera vista el problema parece complicarse bastante. Después de todo, en los problemas de electrostática siempre nos valemos de las simetrías para obtener los campos. Se nos podría ocurrir tratar de resolver el problema utilizando el método de las imágenes. Pero esto no rendiría ningún fruto, ya que la carga imagen debería estar colocada en el exterior del conductor (y justamente queremos calcular el potencial afuera del conductor, donde no es válido el método por estar la carga imagen!). Miremos entonces el diagrama de la Figura 3, en el cual tenemos una esfera conductora con una carga puntual q en una cavidad sin ninguna simetría particular. Si rodeamos la cavidad con una superficie de Gauss cualquiera, sabemos que el campo eléctrico en la ... del conductor (no así en la cavidad) debe ser cero, por lo tanto la carga encerrada (la carga puntual más la carga inducida en la superficie interior del conductor) debe ser cero. La carga inducida en la superficie interior del conductor se va a ocupar de anular el campo producido por la carga puntual (ya sea en la ... del conductor, o en el resto del espacio), por lo tanto la carga que se distribuya en la superficie externa del conductor lo va a ser independientemente de lo que pase adentro del mismo. Volviendo a nuestro problema particular, esto quiere decir que si pensamos en el conductor dividido en dos superficies (esto es válido aunque el espesor del conductor sea despreciable), podemos decir que: Por lo tanto, podemos concluir que la contribución dipolar al potencial lejano no cambia al desplazar la carga (tampoco lo hace la contribución monopolar, porque no cambia la cantidad de carga total). c) Si ahora el conductor está desconectado y con carga nula, la situación cambia un poco. La mayoría de los razonamientos que utilizamos en la parte b siguen siendo válidos: la carga en la superficie exterior seguirá distribuyéndose independientemente de lo que pase adentro de la cavidad. Pero por conservación de la carga total del conductor, si una carga ... se distribuye en la superficie interior para anular el campo de la carga puntual ..., una carga ... debe distribuirse en el resto del conductor (para sumar cero la carga total!). Por lo tanto, la información de la ... de carga en la cavidad, se transmite al exterior del conductor, y deberá aparecer en las expresiones de campo y potencial (en lugar del potencial ...). Nuevamente, la contribución dipolar al potencial queda invariante. El término monopolar no queda invariante, pero sigue siendo igual al potencial de la región 3 (expresión abajo). Podemos obtener las expresiones de los campos simplemente estableciendo .... (en vista del análisis que acabamos de hacer) en las expresiones ...): Estas expresiones son válidas para el caso a) de la carga puntual concéntrica con los cascarones esféricos.