E L E F E C T O C O N T I N U O P E R IO D I C O

P R O D U C I D O P O R IR R A D 1 A C 1 0 N

C 0 N B A J A S E N E R G I A S•••

LA TEORIA ALGEBRAICA DE LOS

PROCESOS RELACIONALES •••

C. A. Leguizamón

A. N. Zaretzky

J. M. CORDERO LARRIERA

M. A. ALEGNANI

••••

1989

RESUMEN

La teoría algebraica de los Procesos relacionales constituye una argumentaci6n nueva dentro de la Biología Relacional, que ha llevado a nuevas definiciones matemáticas, a explicaciones relacionales de los procesos biol6gicos y al descubrimiento del Efecto Continuo Peri6dico sobre la Materia. Este trabajo muestra tres tipos distintos de investigaciones relacionados con la teoría: la definici6n de un nuevo reticulado, el Reticulado de la Flecha Heyting y el hallazgo de teoremas relacionados con éste; la obtenci6n del álgebra correspondiente a la interacci6n antígeno anticuerpo por medio de la teoría relacional; y la reiteraci6n del, Efecto Continuo Peri6dico sobre el crecimiento de plántulas de trigo por irradiaci6n con bajas energías de un nutriente especifico.

INTRODUCCION

La Biología Relacional comenz6 con los trabajos de J.‑H.Woodger (1937) y ha sido principalmente desarrollada por N. Rashevsky a partir del año 1954 y hasta 1972. Otros autores, sobre las bases de Rashevsky, también han contribuido al desarrollo de esta rama de la Biomatemática: Rosen (1958a,1958b y 1972), Baianu (1970,1971,1980), Baianu y larinescu‑ (19(158), Bvaianu Y Serircariu (1973), Comorosan y Baianu (l9ó9), Arbib (1966), Demetrius (lq66), ?oster (1966).

La Biología Relacional considera compartimientos cualitativos en los sistemas, interpretando a éstos en términos de propiedades funcionales.

El Principio de invarianza Relacional de N. Rashevsky, expresa que los organismos se relacionan a través de sus propiedades naturales P de tal manera que una organizaci6n funcional del tipo

Ps Pc Pm

(s: sensitividad al estímulo, c: conducci6n del estímulo; m: movimiento ordenado)

dada en organismos primordiales es mantenida a través de todo el conjunto de sistemas biológicos, determinando similares dígrafos entre subpropiedades de estos últimos. Obsérvese que una misma propiedad funcional puede tener lugar en distintos sistemas, a través de mecanismos físico‑químicos completamente distintos. También, las propiedades funciona les se manifiestan a niveles jerárquicos distintos en un mismo sistema. Esto significa que todas las manifestaciones cuantitativas en Biología son debidas a una organizaci6n subyacente, de tipo cualitativo, cuya constancia a través de los sistemas identifica por sí a la misma Biología. La teoría algebraica de los procesos relacionales comenz6 a desarrollarse a partir La teoría relacional se fue desarrollando a través de la búsqueda de condiciones sobre los dos conceptos relacionales obtenidos. Simultáneamente, los nuevos conceptos permitieron inferir nuevas estructuras relacionales. En categorías, lo que mejoro la interpretaci6n de los sistemas relaciónales. Así, fue aplicado el Lema de Yoneda (Leguizam6n 1976) descubriéndose que objetos del tipo

1^{X 2} x ? E^j ₂ , J={1, 1, …,n^-1 }

que expresaban salidas exclusivamente energéticas del tipo ρ_B de la figura 1.l., eran debidas a ingresos adicionales al sistema.

Las energías extrínsecas fueron reconocidas a través de cinco condiciones, las que siendo definidas a partir del trabajo de 1975, se completaron en Leguizam6n (1982). Este concepto relacional definía una energía inherente a su naturaleza física material, con la posibilidad de más de un valor de energía extrínseca ligada a la anterior, no necesariamente constante el número de energías ligadas, (y por lo tanto de característica lábil en la unión) y además, con la posibilidad de continuidad entre distintos valores de energía que pueden ligarse a la naturaleza física material.

De hecho, estas condiciones se corresponden para un rango de bajos valores de energía en relación al valor de energía equivalente al de la naturaleza física material.

Leguizam6n, en su trabajo de 1982, reiter6 que ingresos adicionales de energía extrínseca E ^x₀ que se ligasen a un producto de ingresos originales

X x 11 E x1 ic‑ J 1 (J = t 1,2, .... n‑11 )

podían dar lugar a un nuevo tipo de salidas del sistema. Estos criterios interpretados por medio de la figura 1.3.

X ₁ X₂

? E^x ₁ } E¹₂

x E^n-1₂

E^x ₀

FIGURA 1.3.

sugieren que una variaci6n continua de los valores de energía extrínseca E^x ₀ ligados al ingreso original X₁ x ? E^x ₁ será correspondida por una respuesta expresada por la variaci6n continua en el rango, como se tendría para la cardinalidad de

X₂¹ x ? E^j ₂

Esto ultimo constituy6 el Principal descubrimiento te6rico obtenido a partir de los desarrollos relacionales. Esto fue verificado experimentalmente por medio de irradiaciones con bajas energías (λ=546 nm, I = 3350 lux) durante tiempos del orden de los segundos, efectuadas sobre un muy conocido revelador fotográfico, el Parametil aminofenol sulfato (metol) en estado s6lido, pulverulento. Sucintamente la experiencia consistió en diluir el metol irradiado con el resto de los componentes de la solución reveladora, sumergir en esta solución filmes blanco y negro expuestos, y revelarlos a temperatura, agitaci6n y tiempos constantes. Siendo fijados, lavados y secados los filmes, fueron luego medidos sus valores de densidad óptica (D).Los primeros resultados de la opacidad (D = log Op) expresados en

funci6n de los tiempos de irradíaci6n del metol fueron presentados por C. A. Leguizam6n, J. M. Cordero, y A. N. Zaretzky (1984). (Figura 1.4.)

+150 ‑ +40

1.40‑ +30

~30 ‑

.20

+lo 1 2 3 4 5 el ‑1

4.20‑ 7. 11121314

1 ~

+lo‑ 1 2 3 A 5 6 7 8 910 14 o.

o‑ ‑Seo. ‑1

‑20 0

FIGURA 4

'4áOp

t'30

+20

~i 1 12 1314

+ 1 2 3 4 5 6 1 ~e

1 . 1 ~;l~, ~ ~ ' ' ~ . seg.

?IGURA 1.4.

Para el exuerimento A.Ope=45.~8, I=1734 lux.

Para el experimento B.üDc=39.47, I=1734 lux.

Para el exDerimen‑to C.Opc=8.4u_‑ , I=3350 lux.

cnrres‑7,~r,,‑, ~nte ~_no

‑8

La experiencia fue reiterada por G. Peschel y T.Popescu (1988) en el Institut fúr Physikalische Und Theoretische Chemie, Universidad de Essen, Alemania Occidental. Los resultados reiteraron el descubrimiento anterior.

El efecto es llamado Efecto Continuo Peri6dico.

Un tercer concepto relacional fue inducido por medio de categorías y fue denominado asignaci6n adicional número uno (Leguizam6n y Zaretzky 1984). Sin identificaci3n con un concepto conocido, en principio, fue luego identificado con el tiempo, el que fue interpretado como cumpliendo tres condiciones: homogeneidad, continuidad e irreversibilidad. Posteriormente la temperatura, la longitud y otros conceptos fueron reconocidos a través de esta asignaci6n.

La teoría de reticulados fue introducida en la teoría relacional (Leguizam6n, C.A.

Zaretzky, A.N.y Viogg, B.M.1983).

Considerando procesos relacionales de dos átomos, distributivos, fue obtenido un reticulado L 13 de trece elerientos, el cual es el: elemento fundamental en estos desarrollos.

Los átomos en interacci6n fueron identificados con la naturaleza física material (m) ligada a la energía extrínseca (e) para dar la duDla me, y también Dor m ligado a una energía extrínseca específica e y a una agier‑ac4‑6n adicional v rara dar méy. En L 13 ar,‑,recen u‑‑,,;‑Posí‑ciones

del tipo me v mey, donde la operaci6n "v" significa que las proposiciones originales operan conjuntamente. Cuando existe interacci6n de me y mey, se produce la nueva proposici6n me a mey, aonde me y mey identifican las respectivas Dartes realmente intervinientes.

El reticulado L 13 pertenece a la variedad ecuacional H 4 de algebras pseudo‑booleanas,

H 4 x v (x ‑> (y v ‑1 y) ) = 1

(x ‑‑‑‑yY) V (y 3. x) V C (x‑‑‑‑:> y) x)]

me v rriv v rne arTrey

rne v meemey v rrCy mZyvmenmEy

rne v m nig~ V MEY

rne mey

V Qy*

m LTY*

FIGURA‑ 1‑7

Un conjunto de importantes subreti‑culados

son obteníbles a Dartir de L 13‑ Así, se encuentran

L (algebra booleana) L y L pertenecientes a la va

4 ‑1 5 8 ~

riedad H L y L pertenecientesa la variedad cw

49 6 9 ‑5

‑lo

H 2 x v ‑1 ‑1 x=

H 3: x v (x ‑‑‑‑‑XY v ‑1 yY1)=

H 5: x v (x ‑~ (y v n y)

~x v ‑~‑1 x= 1

6: (x ‑7 y) v (y x)=

7 x v ‑‑jx= 1 (algebra de Boole)

H 7 C H 5 H ó C‑ H 2

H 5 C‑ H 4 H 3

1 :meernEy

I= me*v mly

1 =rne v mUy

v me*v ni 9 mjy

> éy*

me mly mes Miyo Me*

0 4‑ < 0 L5 0

i=lll;syv me a miy z mevnic‑y

menm~y ¡Tip*v filly me v m né >v MIy

m_y v'm.y me

mé*v mie‑y* > MEY

me* mly* <me* >mevo

0 L8 0 L9

FIGURA 1.8.

‑11

Anteriormente fue dicho cue el objetivo de esta teoría relacional consistía en identificar los conceptos relacionales y las condiciones bajo las cuales interactúano Algunas de éstas condiciones podrían ser*ded‑,, cíbles de las aplicaciones de la teoría y también encontrarse‑ nuevos conceptos relacionales.

Los conceptos relacionales son identificados como elementos algebraicos m.,ele, y, cuyos axiomas deberán ser definidos sobre la base de las condiciones establecidas por aquellos conceptos. Así, un elemento del reticulado identificado por mey, aeberá en el futuro corresponder a una operaci6n algebraica resultante a partir de los axiomas de loá elemento á‑‑algébraico s ‑ De esta manera, la variedad algebraica final obtenible a partir del correspondiente reticulado, H 4 si es L 8 0 H 5 si es L,, será dependiente de las condiciones que cumplan cada uno de los elementos del reticulado.

Cada uno de estos reticulados da lugar a una respuesta en el elemento universal 1.

El reticulado L 8 es particullarmiente interesante

Allí, aparece el elemento me a mey que, como fue dicho,

corresponde a una nueva proposici6n debida a la interac

ci6n de me y méy, por la cual la asignaci6n adicional

número uno y se encuentra involucrada en el proceso.

Si los comportamienúos relacionales son interpretados ror

L a y aquellos son dados coiLo funciones de la asiEnaci6n

y, entonces si ésta es representada en el eje real X

cumpliendo una tor)olo>~la no Hausdorff, entonces las

funciones continuas del tiro C (x, tR) no oera

‑12

k‑arán puntos. Esto fue obtenido en (Legui

zam6n, C.A. y Allignani, DI.A. 1988) conside

rando el concepto abstracto de tiempo bajo

las condiciones de homogeneidad, continuidad

e irreversibili.dad.

2. SOBRE EL RETICULADO DE LA FLECH.k HEYTING.

La obtenci6n del reticulado L 13 de

riv6 en el reconocimiento de una operaci6n

algebraica denominada flecha Heyting, y defini

ble as!: x C‑ L, a ^ x ‑' b x 1~‑ a 1 b,

0 sea a b= max x c‑ L: a ^ x !iz b 1 ‑

La flecha Heyting dual es definible como a v~.. b= min x é_ L: a v x 7/ b~

Un álgebra universal <L;‑v,/\,‑;~0,1> es llamada un álgebra Heyting si, y solo si, <L; VI^ 0,l> es un reticulado acotado tal que Dará todo a,b e L, el elemento a‑‑9b o£L es el Dseudo complemento de a relativo a b. (Rasiowa y Sikorski 1963 lla‑man a esta álzebra como álgebra pseudo‑booleana (PBA».

En forma similar se define el ~5lFe

bra Heyting dual~L,,v,^ 0,1> .

El reticulado L 13 es una doble álge~ bra Heyting1 ‑v 1\

\ l3y y y

La flecha Heyting es ‑,)artic:llla.~‑~i,er‑I~e imnortante entre elementos no Conrarables (ailb) por cuanto la flecha indícarla una nuev~‑. oneraci6n entre ei‑ei,,~entcs no oraenanos, de :acuerco.

al con llantc uarcialmente ordenado IC‑

‑13

Sea L una PBA; a e L. El elemento n a <‑2 L es el pseudo complemento de a, ¡.e. xi~~‑Ia áí a ^ x= 0.

Las siguientes propiedades serán utilizadas en este trabajo:

Sea L una PBA; a,b <Z‑LL. Entonces:

a ‑‑~ ‑1 ‑1 a

a= a

a ~e b a 7/ b

(a v b)‑‑ a b

(a ^ b) =_1 a b (Varlet, 1972)

Sea L una PBA. Entonces B(L)= x C‑_L/X=VI x

,le elementos cerrados de L. El orden parcial de L

parcialmente ordena B(L) siendo este áltímo un ál

gebra Booleana <B(L); U , ^ , ‑1 0, l> para el cual

a U b= ‑I‑I(a v b) se cumnie.

El conjunt.o de elementos denso D(L)= ~X e L/‑1 x=( y es un filtro (Kitrifíak 1974).

Un filtro es una colección no vacia F de ele

mentos de L si es verificado:

Fl. Si fi C‑ F y f t~‑ x x C‑ F

F2. ii a,b C‑ F a ^ b e F

f 3. 0

Un ideal I es defírido en fo‑.‑ma dual (‑‑‑~asiowpy Sikorski IG.631).

Si a es un eleniento de L, a ~ 0, entonces F(a) denota la familia de todos los elementos x de L zai‑ oue a x. Entonces ¡?(a) es el filtr9 zrinciral

asociado a5,1 a.

‑14

Si L es una PBA fihit2.,entonces sus filtros son sus filtros principales.

Una PBA es de orden 3 si ést cumple la identidad x v (x ‑:>(y v1 y)= 1 (Káltriñak 1977).

El Reticulado Flecha Heytin .

En todo este trabajo trataremos con álgebras pseudo‑booleanas finitas,

Sea L una PBA.Siguiendo a Birkhoff (1984) si a,b G L entonces a ‑;~ b‑_z 1 =MWLX ~ Q_ L/a í\ x t b

La Drevia definici6n Duede ser vista a

través de la siguiente nueva definici6n, en el caso

a b (a es no comparable con b):

a ‑ b= z 2 ~‑max tx &_L/x C= F(b)j1 F(a) and a,^x=

= a,,, . Obviam‑ente z 1 = Z 2

Definici6n

Sea L una PBA. Sea OC ,=~x 6~ L/ x=a ‑7 b; a, b E. L, a b~u~O~U ll~

El orden parcial de J F es definido como la restricci6n del orden Darcial de L. Entonces <~~ F es un Doset.

Si x i x j y x i v x existen en £ F

para todo x i x j £ F entonces F es el reticula

do L., llaínado el reticulado flecha Heyting.

L o? F L LF

T 2.1

‑15

Debe ser notado que L F no es considerado un subreticulado de L y sus propiedades deben ser estudiadas independientemente.

Definici6n

Un nodo n en L es un elemento el cual es comparable con cada elemento de L (Balbes y Dwinger 1974). Teorema 1

Sea L una.PEA. Si L tiene nodos n 0,1 tal que ambos F(n i ),e I(n i )tienen elementos no comparables, entonces los resultados de las Flecha Heyting entre elementos no comnarables de L es un roset ,P,(pero no un reticulado). Prueba

Id a, b e F (n i a b, z a ‑‑7 b y z j b ‑>a

pertenece a F(n i V a, I (n i ),a~ Ii b' z i

y z b 7a' pertenece a I(n i ».

Debido a la Dr6xima pronosici6n 1, z líz j

(y z, z 1 ).

i j

De acuerdo a la defínici6n delorden parcial

en 4 n i F y entonces 3 Zlyz 21 zl',z2' tal cue

1 1

inf(z1,z 2) y sup(zlyz 2 ) no existen a.

Las siguientes Dronosiciones son triviales:

Sea L una FBA; a,bc‑ L; al/ b entonces

1. Si a ‑>b= z entonces z 11 a

2 ‑ a b= z 0

a b= z j_

‑17

clase ecuaCional de todos los reticulados relativamente pseudo‑complementados), el cual es caracterizado por la identidad x v (x ‑‑;~ y) Si y= ~ D(L) x entonces x v‑1 D(L) X=1 ‑Y xC‑D(L);

x '^" ‑) x=z: z = min D(L)

D(L) 0 0

entonces D (L.) es un álgebra booleanan,

12. Sea L una PBA de orden 3, z 0 ‑‑minD(L), ID(L)j > 2,

a ~ D(L), a Y zo 1, a // Z.. Entonces a‑;>z 0 Z 0

Prueba

Como a z,‑‑‑> a v Z ~> z a v z Z

0 0 k

Z C‑D(L) (por que D(L)=F(z ) y Z ‑:> Z y z Z

k 0 k 0 k"' 0

como z k & 1 sea z j =~ D(L)'k* Este z j existe

porque L es de orden 3, entonces D(L) es un álgebra

booleana (prop.11).

Entonces z j =‑] D(L) z k= 1 D(L) (a v z 0 a v z 0 ‑

;7zo=

::(a z 0 ) ^(z 0 ‑? z 0 )= (a ‑? z 0 1= a ‑> z 0

Entonc e s a ‑> zo= Z.; y Z ~‑‑ D (L) z z la .

J j j 0

13. Sea L una PBA con dos áto.,rios a t y a t 2*

z 0 = minD (L) ; a, b C~ a ~ D (L) b D(L) , a b.

Entonces a b zo.

Prueba

Sea a b z Entonces z,>

0 b.

Pero z ~¿ 'b ‑jues b

0 D'L.)

‑18

Entonces z b.

Como L tiene dos átomos a t_ y a t es

Z.= a t v a t 2. Si z 0 >b entonces es J. b= a t b=a t 2.

Supongamos b=a Como a//b es a;7 a Entonces

t t 2

z 0 A a=at 2 .

Pero z A a.,‑b Dor ser a b=z

0 0

Luego, a z ^ a,‑'‑b= a Entonces

t 2 0 t l

a z a Absurdo

t 2 t ,

14. Sea L una PBA. Si L F existe entonces B(L)S L F.o La prueba es inmediata.

15. Sea L una PBA. Si L es un álgebra booleana, entonces B (L) L F

Prueba Sigue de la proDosici6n 7.

Observaci6n

La inversa no es cierta. Por ejemplo en L 5 es B(L) ‑L F pero L 5 no es un álgebra booleana.

FIGURA 2.2

‑19

Teorema 2

Sea L una PBA de orden 3, L teniendo s6lo

dos átomos at 1 y at2, z 0 =minD(L), ID(L)/72 y

V a ~ D(L), a //z 0 es a v zo~ 1. Entonces, 1 LF~ 2 t

n ‑71 2, n finito.

Prueba

at, _>a t2 =7atl y at2 at, at 2

Entonces ‑lat 1 =lla t2 A 0 y ‑la t2 =Matl y hay s6lo dos elementos x:, y4!~: L tal que x=‑71x e y=11y. Entonces B(L)= 1 OIX9Y11 y entonces

jB(L)j= 4 (1).

Además, B(L) C L (prop‑14) (II).

Si x > at, y x > a t2=:>1 x= 0 (prop.6)

entonces x C‑ D(L) (III)

Además z 0 ~ L F (prop.9,12,13) (IV)

Si L es de orden 3 entonces D(L) es un álgebra boo

leana (prop.11). (V)

Debido a (I) y (III) es

LIP G B(L) U D(L) (VI)

Pero B(L) n D(L)= t 1 (VII)

Debido a (VI),(IV) y (VII) es

IL F 1 = 1 B(L) 1 t 1 D(L)( ‑ 2

Debido a (I) y (Y) es

1 LF~ 4 t ~ D(L) 2 D(L) 2

entonces

1 L~,, 2' ‑,‑ 2, n=2, 3, .... m (m poroue L es‑ ‑

fini

‑21

LA INTERACCIOI~ ANTIGENO‑ANTIGU‑‑;RPO

3.1. Consideraciones biol6gicas del_problema.

El sistema‑inmunol6gico es el oue reconoce y resDonde a la invasi6n de sustancias extrafías en el organismo. El sistema comprende células, denominadas linfocitos y moléculas llamadas inmunoglobulinas.

Las sustancias extrafias capaces de producir una respuesta se llaman antígenos. Las porciones de antígeno con las cuales interactúan las inmunoolobulinas se llaman epitoDes o determinantes.

La inducci6n de la respuesta es precedida Do el reconocimiento llevado a cabo por los epitares y la moléculas de inmunoglobulina, las cuales funcionan com receptores sobre las membranas de los linfocitos. Este trabajo analiza la primera etapa dada Dor el reconocímiento.

Los linfocitos se diferencian en células T y células B. Estas áltimas sor. las precursoras de las células que secretan anticuerros, mientras que las células T sintetizan nero no secretan gran cantidad dE anticuerpos. Intervienen, asímismo, como reguladores de la respuesta.

Los anticuerros son n‑‑o‑lu‑eínas globulínicas formadas por el entrelaizamiento de una cadena pesada y una liviana de DoliDéD‑tw‑idos. Existen grandes dí‑ferencias entre las secuencias de los 110 príameros resiátios, constiti).yena'o la regi6n variable V.

de esta regi6n hay sli't)secje‑ri,,‑s .,ue

‑22

tienen mucha variabilidad, const‑ituyendo la regi6n hipervariable. El plegado de la cadena pesada y liviana de las regiones hipervariables constituyen el sitio de combinaci6n del anticuerpo con el epitope antige`nico.

El resto de los aminoácidos en cada eadena del anticuerpo tienen menos variabilidad constituyendo la regi6n constante C. Estas regiones determinan diferentes clases de inmunoglobulinas, siendo las más conocidas la Ig G e Ig M. La primera de ellas tiene dos sitios de combinaci6n y la segunda, diez.

Un elemento muy importante, en esta estructura y oue forma parte de ¡a regi6n constante de la cadena pesada es la bisagra. Esta tiene una cierta flexibilidad y permite movilídad lateral del sitio de combinaci6n. De acuerdo a esto la distancia entre sitios Duede ser variable.

Para que se produzca la respuesta es necesario que haya contacto entre célula B y antígeno, lo cual, bajo apropiadas circunstancias, disrara la diferenciaci6n y proliferaci6n celular, y culmina con la proli‑feraci6n ale anticuerros. Este contact‑o se realiza entre los sitios de ligadura de los anticuerpos‑receptores cue se encuentran en la‑suDerficie de las células B y los epitoDes de los antigenos.

‑23

epitOpe antigeno

bi sagra 1^0

Sitio de ligadura

LYr\ r e le l: to r

Superficie celula B

FIGURA 3.1.1

La ligadura entre sitios de combinaci6n de los receptores y eDitopes ele antígenos puede ser de varias formas, influyendo sobre la inducci6n de la resDuesta. Si un epitope se liga con un sitio de combinaci6n se dice que la ligadura es simple.

FIGUR.A, ^j.1.2 a

Si dos enitopes se liz,ran a dos sitios del mismo recent(r se dice que la ligadura es intramolecular

‑25

ligado cruzado en esta inducci6n. Según Becker y colaboradores (1973) hay evidencias que el ligado cruzado es suficiente en algunos sistemas para disDarar la activación y que, aún con s6lo dos receptores involucrados (es decir, con un solo ligado cruzado) ésto Podría llegar a suceder. Esto Darecerla justificarse en el hecho que el antígeno ligado cruzado es considerablemente más estable que uno ligado simple. Entonces, un. ligado cruzado podría mantener una célula el tiemDo su‑ficiente para que una dada señal mitogenética no especifica sea liberada (Coutinho y MUller, 1974). 0 sea, que el ligado cruzado sería el mediador Dara la liberación de la señal. Como consecuencia de ésto se' le dará especial valor a uno de los factores más importantes que favorecen al ligado cruzado, este es la flexibilidad de la bisagra.

La distancia entre sitios de ligadura de los receDtores guarda un rol fundamental en relación a uno de los conceptos relacionales (asignaci6n adicional número uno:y) y a la misma resuuesta obtenida del proceso en relación al álgebra resultante. El concepto de distancia concierne, como se dijo, a la distancia entre sitios de ligadura de los recentores. La variaci6n de dicha distar‑cia será concerniente a la flexibilidad de la bisagra y a la roblaci6n de células 3, las rue variando sus dimensiones y la concentración ae recezt‑ores en ellas varían también la distancia entre sitios.

‑26

3.2.El Modelo Relacional

Teniendo en cuenta las consideraciones

anteriores la representaci6n relacional es inme

diata:

1. Existen dos naturalezas físicas materiales m 1 (sitios de recentores) y m 2 (eDitopes).

2. A m 1 le corresponde una cantidad de sitios de receDtores presentes en la superficie de las células B que se encuentran en un determinado medio. Existe una energía' extrínseca ¡dentificada con "é 1 y donde y concierne al concepto de longitud int erpretado en términos de una variaci6n continua, homogénea e irreversible. La energía esDecífica e 1 se interpreta como inherente a la disDosici6n de los sitios y entonces concierne a energía/unidad de longitud. Se define así la proDosici6n mi _¿ ly1(Dara yyrepresentando una distancia dada).

3. A m le corresponde una cantidad de eDitopes 2 en relaci6n a la cantidad de m 1 para el medio en el que se encuentran.

4. Bases te6ricas (Lep ‑‑‑ninan

zuizam6n 1975a) deter` que toda nacuraleza física material, en este caso m2, tiene energía extrínseca natu‑ralmen

te liada: e*. Así se tiene la proposición

m e*

2 2*

5. r;l reconocimien‑,o del proceso de inzeracción

entre los

~..to.~ios m e,y y ,‑" e es Drsc‑ic,‑

1 ~ 2 2

nor esi cruzada‑ entre eDito‑Jes y si

‑27

tios de recertores y expresado por m 1 e 1 y a m 2 e 2 (ig

6. La teorla relacional expresa que la interacci6n de dos átomos produciendo una nueva proposici6n (ni) da lugar a lo que es denominado un argumento relacional de tres ramas

m e. m gy*,

2 2

3.2.1

7. Sobre la base de! argumento anterior y del sígnificado natural de los conceptos relacionales m 1 e 1 1 y Leguizam6 y Zaretzky en (1989) han determinado que en térm.inos de retictilados se obtiene el reticulado L 13 (figura 1.7) relativamente Dseudo‑complementado.

8. De acuerdo a las consideraciones de los puntos anterior el proceso de reconocimiento antígeno‑anticuerDo es ¡de tificado por el subreticulado L a de L 13 (figura 3.2.2). el

‑ryley V a

2~e2* V M11,y

&e OM8y

r"2

2 y*

‑28

El elemento 1= mj1y V IR reDresenta todas las ligaduras cruzadas DOsibles.

Leguizam6n y Allignani (1988) han estudiado la resDuesta a este proceso algebraico para deterulinadas condiciones de la variable tiempo. Sobre la base de continuidad, irreversibilidad y homogeneidad para el tiempo representado sobre la recta real X,existen pos'ibles intervalos que definen una topología sobre la recta.

Segán De Lis¡ (1980) es posible estimar un rango de distancias entre receDtores de una célula B en funci6n de su radio y de la concentraci6n de receptores en su superficie. Teniendo en cuenta las consideraciones de homogeneidad, continuidad e irreversibilidad para las distancia, se definen los intervalos de la forma (0,a] los que determinan la subbase para una topología G no‑Hausdorff sobre la recta real positiva X. El dato a refiere a la distancia máxima entre sitios en cada célula.

Las condiciones establecidas sobre la energe

Ía extrínseca determinan la posibilidad de una variaci6n continua de la másma cuando se encuentra ligada a la naturaleza física material. Esto corresT)onde q e 1 y cuando integra la nrorosici6n r. 1 z 1 y a m 2 e 29 con y variando en princirio, en forma continua Y homogénea.

‑29~

Dado lo anterior, para y representada sobre la recta real X con topología no Hausdorff, entonces las respuestas obtenibles mediante el arreglo algebraico

(X,5R) de fun

de L 8 son identificadas por la clase C 0 ciones continuas que no separan puntos (Leguizam6n y Allignani 1988).

Surge naturalmente úl análisis oue y, la distancia, está involucrada en el proceso.

La clase e'(X,íR) conti‑ene funciones de distin

tas formas que toman máximos Y/o mínimos en el rango de

todas las distancias posibles. Existiendo uno o más da

tos para los cuales la cantidad C de ligaduras cruzadas

es un máximo, entonces sería apropiado encontrar los va

lores d

Para una distribuci6n normal de células B en

funci6n de sus radios, entonces es conjeturable obtener

una curva del tipo de la figura 3.2.3.

Min do bmax

‑7 i G'T2 3.2‑3

~30

El reticulado L. pertenece a la variedad ecuaCional H 49 Dor la cual entonces el Droceso de ligadura cruzada tiene luga .

El estudio que sigue concierne a la aDlicaci6n de los desarrollos sobre el reticulado de la Flecha Heyting L F (punto 2). En Leguizam6n (198d) fue definido el reticulado Flecha Heyting Dual DL F tal que la flecha dual se define: a ‑&~b= min x C= L/ a v' x > b

El problema de la interacci6n antígeno‑anticuermo Duede ser interpretado en términos de sendos reticulados L F(8) y DL F(8) Dor cuando el reticulado L8 se encuentra dentro de la doble álgebra Heyting

L 8; A . v, p ' ' o, i >

La arlicaci6n de la operaci6n Flecha Heyting entre elementos x (E L no corDarables, deterinina,por el Teorema 2,el reticulado. de la figura <.2.4.a,y el de lía Flecha Heyting dual (Leguizam6n 1988) según aDarece en la figura 3.2.4.'b.

?y m e,y

m e'\,/ *me me*

22 1 1y 22 m 11 1 y

L DL F(8)

‑31

Naturalmente, por las definiciones de las operaciones dadas por sendas flechas, los elementos obtenidos en L F(8) corresponden a resultados dados ror incrementos de energía, y en DL F(8) por decrecimientos de energía. Ambos,LF(8) y DLF(8)eH5

El análisis biol6gico radica entonces en descubrir en la estructura algebraica original L 8 cuáles serían las oper~~.ciones Dosibles, definibles por un viable ‑proceso algebraico, oue conllevasen a una disminuci6n o eliminaci6n de las ligaduras cruzadas, representadas Dor la proDosici6n a . Esto se logra Dor ma segunda obtenci6n del reticulado Flecha Heyting Dual DL(DL F(8). ) como se ve en la figura3.2.5.

m 1 e 1y ffl1y

DUDL F(8»

FIGITRA 3.2.5

El reticulado anterior significa Que la pérdida de energía en el sistema a través de la oDeraci6n Flecha Heyting Dual entre elementos no c=parables, disminuiría el nImero de ligaduras

‑33

4.El Efecto Continuo Periódico sobre un Nutriente de Plántulas de trigo

Según fue establecido te6ricamente el Efecto Continuo Peri6dico es un efecto general sobre la materia. La verificaci6n de esto m obtuvo experimentalmente irradiiuido con bajas energias para‑metil aminofenol sulfato y midiendo los resultados de la opacidad en filmes. En este trabajo se utiliza otra sustancia, el nitrato de potasio, el cual es utilizado como nutriente de plántulas de trigo, midiendo elefecto sobre éstas.

4.1. DisDositivo de irradiaci6n.

El aDarato de irradiaci6n consiste en una lámpari de mercurio General Electric H 100 Watts A 4 T. El obturadc es a diafragma, Kodak, ubicado inmediatamente arriba de un filtro de interferencia marca Ealing >,=54Ó,l nm, ¿X = 8 ‑rim, 0 = 25,4 nm. El filtro se asienta sobre un colimador de aluminio opaco, con un diámetro adecuado tal que el haz de luz determina una secci6n de diámetro igual a 20 mm en el fondo del vaso opaco que contiene la sustancia a irradiar.

El haz se obtuvo uniforme, sin anillos ni seccio.z. de mayor iluminací6n, lo cual fue verificado ímediante un fot6metro J‑16 Tektronix. La cáinara de irradiaci6n fue mantenida con ambiente seco. La sustancia irradiada, nitrato de Dotasio en Dolvo seco, fue dejada desde 24 horas antes de la irradiaci3n en desecador. La altura de la

lánpara fue ajastada de manera tal que la iluminarcia

‑34

sobre la muestra fue de 3140 lux + 10 lux (lumen/m 2 ) durante la irradiaci6n.

Se irradiaron muestras de 20mg de nitrato de potasio por semilla durante tiempos entre 14 y 35 segundos (± 0.05seg.), segundo a segundo.

I‑LAMPARA

'^OBTURADOR FILTRO

77 COLMDOR

‑ Li VASO

SUSTANCIA A IRRADIAR

FIGU.RA 4.1.1

4‑ 2. Siembra

Se seleccionaron 288 semillas de trigo Inta Pampa, todas de similar Deso (50mg aproximadamente) y tamaflo, con contextura homogénea y excluyendo aquellas que presentaban anormalidades.

La su‑perficíe de las semillas fue esterilizada sumergiéndolas durante 45 minutos en una soluci6n al l1,', de hiDoclorito de sodio.

El lugar Dara la germinaci6n fue preparado con cantidades homogéneas de arena lavada y esterilizad`a por calcinación. ¿Se acondicion6 el ambiente impidiendo la entrada direcia de luz solar, registrando valores de iluminaci6n similares sobre toda la sizi,DertL'icJ. e se7,2rada. (Ic‑~ 50 lux). La tera

‑35

peratura fue la del ambiente, manteniéndose entre 16ºC y 282C. Las semillas fueron ubicadas distantes entre sí 5 cm, y dispu?stás en hileras db 12 semillas.

Se utilizaron 24 semillas para control (C) y 12 Dara cada uno de los distintos tiempos de irradiaci6t La disposici6n de las hileras fue obtenida mediante una tabla de números al azar. La profundidad de siembra fue de Q.5, el~~

4.3. Proceso experimental

A cada recipiente (opaco a la luz) conteniend( 20 mg de nitrato de Dotasio fueron agregados 36m1 de agi bidestilada, agitando la disoluci6n durante 15 minutos. Exactairente a los 15 minutos de la disoluci6n fueron incorporadas 12 semillas a cada recipiente. Después de 105 minutos las semillas fueron retiradas de la disoluci6n e inmediatamente sémbradaw. Simultáneamente, similar secuencia fue seguida con nitrato de potasio no irrz diado utilizado como control (C), con peso y volúmenes corresDondientes a 24 semillas.

Luego de la siembra,a:cada‑‑sem'illa‑'ae le‑‑agre ron 2mi‑de agua bidestilada, repitiendo esta operaci6n día mor medio.

A los dos días de la siembra se observ6 la aparici6n de los primeros brotes.

La experiencia se dio por finalizada 23 días desnués del día de sierabra obteniéndose un porcentaje de germinaci3n que en ningún caso fue inferior a 83.33

Las plántulas, después de extraídas de la are fueron lavadas y secadas, manteniéndoselas en estufa 5452C durante 3 horas. Las raíces fueron pesadas(±O,OOC

‑36

4. 4. Análisis de los datos

Fue obtenido el Deso de las raíces.

Los resultados correspondientes a

las medias y desviaciones del peso (Desvío

Standard 4 ;E (X i‑ j)2/n_, »aparecen en la tabla

1 y el gráfico correspondiente en la figura 4.4.l.,

Tiem‑no Kedia Desvío

Control C	0.034	0.007
l4"	0.012	0.002
15#1	0.019	0.005
16,1	0.018	0.006
l7"	0.024	0.005
18,4	0.019-	0.004
1911	0.034	0.004
20"	0.031	0.007
21"	Q-031	0.006
22"	0.036	0.005
23"	0.033	0-005
24»	0.037	0.006
251*	0.027	0.008
26"	0.032	0.005
27n	0-041	0.009
280	0.048	0.005
29"	0.029	0.007
3011	0.019	0.007
3111	0.017	0.006
32"	0.011	0.003
330%	0.009	0-003
34"	0.010	0.003
1 351*	0.020	1 0.006

TABLA 1

‑37

Desvío Standard

0.050‑‑~ 1

0.0401

C= 0.0341 T T k‑f 1 Y ‑7

T T L 1

‑‑,II

0.020~

0.010

14 16 18 20 22 24 26 28 30 3 2 34 36 ser

FIGURA 4~4.1

Los puntos experimentales muestran sus desvíos standard. Un análisis de Fourier permití6 obtener puntos Dor los cuales pasa la curva de ajuste.

Para comDarar las muestras control contra cada una de las medias de los otros tratamientos se utiliz6 el test estadístico de Dunnett (Steel y Torrie, 1960).

Se consider6 un nivel de significaci6n de p=0.99. De acuerdo con ésto el análisis muestra diferencias significativas entre las muestras control y las corresnondientes a 1411,15",1611,17",180,2811,30'*,31",32'9, 33",_‑WI y 35".

‑39

5. CONCLUSIONES

La teorla algebraica para procesos relacionales se ha ido concretando con desarrollos en categorias, reticulados, topologia y a través de aplicaciones concretas. Este trabajo aporta un nuevo avance sobre lo anterior por cuanto se exDresan los siguientes tres concretos hallazgos:

‑ La definici6n de los reticulados Flecha Heyting y

Flecha Heyting Pual, con desarrollos de interés matenático.

‑ La aDlicaci6n de la teorla al Droceso de interacci6i antigeno‑anticuerpo, lo cual determin6 un reticulad( de ocho elementos perteneciente a la variedad ecuacional H 4 de álgebras pseudo‑booleanas.

‑ Se ha verificado nuevamente la existencia del Efectz Continuo Peri6dico con experiencias irradiando un nutriente, nitrato de potasio, el cual se utiliz6 con plántulas de trigo.

El trabajo también muestra c6mo los desarrollos matemáticos con los reticulados L F y DL F sor. utilizados para obtener conclusiones sobre el caso especl~‑'~ico cuando la rresencia de antIgenos y anticuernos no produce las ligaduras cruzadas que da lugar al disparo ‑de la reacci6n inmunol6gica. Debe valorarse el

:.'lgebra ror primera vez obtenida (proceso pseudo‑booli no) en la reacción antigeno‑anticuerpo, as,.' como desd( ella valorar su cambio (proceso no‑modular) cuando la: ligaduras crazadas no se producen.

‑41

BIBLIOGRAFIA

‑Arbib,M.(1966).Bull. Math. Biophys. 28: 511‑517.

‑Baianu,I.U970).Bull.Math. Biophys. 32: 539‑561.

‑Baianu,I.(1971).Bull. Math. Biophys. 33: 339‑354

‑Baianu,I.(1980).Bull. Math. Biol.. 42:431‑446..

‑Baianu,I. y Marinescu,M.(1968).Bull. Math. Biophys. 30:625 ‑Baianu,I. y Seripeariu,D.(1973).Bull.Tilath. Biol. 35:475‑48 ‑Balbes,R. y Dwinger,P.(1974)."Distributive Lattices".Unive of lúissouri Press.

‑Becker,K.;Ishizaka,T;Metzger,H.;Ishizaka,K. y Grimley,P.(I J. Exp,Med.,138:394,

‑Birkhoff,G.U984)."Lattice Theory".A.M.S..Colloa. Pub.,Vol. ‑Comorosan,S y Baianu,I.(1969).Bull. blath. Biophys.31:59‑T ‑Coutinho,A. y Kbller,G.(1974).Scand. J. Immun. 3,133.

‑De Lisi,C.(1976).Lecture Notes in Biomath.,Vol.8,Springer‑De Lisi,C.(1980).Math. Biosc. 52:3/4,159‑184.

‑Demetrius,L.(1966).Bull. Math. Biophys. 28:153‑160.

‑Foster,B.(1966).Bull. Math. Biophys. 28:371‑374.

‑Katrinák,T.(1974).Bull. de la Société Royale des Sciences LAge, 43 e année,Nº5‑6,283‑290.

‑Katrinák,T.U977).Algebra Universalis 7/2,265‑271.

‑Leguizam6n,C.A.(1975 a).Bull. lí.,ath. Biol. 37:565‑572.

‑Leguizam6n,C.A.(1975 b).Bull. 1,lath. Biol. 37:Ó75‑689.

‑Leguizam3n,C.A.(1976).Bull. Math. Biol. 38:547‑563.

‑Leguizam6n,C.A.(1977 a).Bull. Math. Biol. 30:307‑406

‑Leguizam3n,C.A.(1977 b).Bull. ,i.at.h. Biol. 39:407‑413.

‑Leguizam,3n,C.A.(1982).,~nales de la Acaáeria Nacional de Exactas,Físicas y Naturales,34:363‑408.

‑Leguizam6n,C.A.(lgbb)."i.owards an Algebraic Theory for H,

tional Processesll.i,*.asson,Pari‑s (en orensa).

y de

‑''a7~emática 2:726‑751

,os~ o L~‑,'~noaner‑‑.c..‑.no de

‑42

Leguizam6n,C.A. y Zaretzky,A.N.(1984).Revue de Bio‑Mathématique

87:1‑25. Leguizam6n,C.A.;Cordero,J.DI.;Rodriguez,N.R. y Zaretzky,A.N. (1984).Actas del Segundo Congreso Internacional de Bíomatemática 1:106~‑124. Leguizam6n,C.A.;Cordero,J.Dl. y Zaretzky,A.N. (1987 a). J. of Inf. and Ded. Biol. (En prensa). Leguizamdn,C.A.;Cordero,J.ril. y Zaretzky,A.N. (1987 b). J. of Physiol. Chem. and Phys. 19(1):15‑21. Leguizam6n,C.A. y Allignani,M.A.(1988).Bio‑Math. 101:31‑45Leguizam3n,C.A. y Zaretzky',A.N.(1989). Bio‑Math.(En prensa).,

‑Peschel,G. y Popescu,T (1988).J. Physiol..Chem. and Physics. En prensa. Rashevsky,N.(1954).Bull. Math. Biol. 16:'317‑348Rashevsky,N.(1972)."Organismie Sets'1.Grosse Pointe Park, Michígan:J.M. Richards Lab.

‑Rasiowa,H. y Sikorski,R.(1963).11The Mathematics of Metamathematics".Polska Akademia Nauk‑Warszawa, Poland. Roitt,I.(1978)."Inmunologla Esencial".Editorial J.I.M.S.

‑Rosen,R.(1958 a).Bull.Math.Biophys. 20: 245‑260.

‑Rosen,R.(1958 b).Bull.Math.Biophys. 20:317‑342. Rosen,R.(1972)."Foundations of Mathematical Biology'1.Vol.II. N.York: Academic Press.

‑Steel,R. y Torrie,J.(1960)..liFrinciples and Procedures of Statistics".New York.MeGraw Hill. Varlet,J.(1972).Algebra Universalis 2/2:218‑223Woodger,H.U937).I*The Axiomatic Method in Biology".Cambridge: Cambridge University Press.

1 1

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1 7,7

=Z‑12‑7

AGUA A 200e

Fi 3

TABLE 1

SAMPLE MEAN VALUE STANDARD DEVIATIUN

c 11,48 0 ' 52

111 10.29 0,65

2fi 9,41 0,56

3" 9,87 0,69

4" 9,03 0,69

se§ 9.06 Q47

el§ 8,97 0,49

711 9,79 Q73

811 9,27 0,40

90 9,56 0,54

lo¡¡ 10,00 0,32

ii0 lQ14 0,49

12" .10.46 0.44

1311 iQ so ql7

14 If 11 * 64 0,29

isit 11 be 0,54

1611 11,17 0,42

170 10,87 0,58

18 te 10,46 0,52

19 lo 9,54 0,48

2011 9,01 Q53

20 8,90

CONTROL 1234567891011 1219 131.7 1819 20 2,1

MEAN IlM

SECONDS

IHH. lo ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑

MEAN

TABLE 1

r: ‑t ~,

. ‑1

IALAN NIALUE STANDARO DEVIATION

(;ONTROL 12,01 0.411

1 4ffic. 11,90 0,45

2 11 10.99 0,34

3 14 10.70 Q41

4 ís 10.31 0,43

5 la 10 0.32

a X32 0,25

7 10.66 offi4

a 10,53 0,37

5 10.24 01»

10 11.32 0,31

11 11,62 0.31

1214 11,72 0,»

13 lé 12,32 0,24

1414 12AS 0,42

15#1 12,04 0.35

id*, 11.44 0,37

1714 1091 0.44

10.81 0,53

10,84 0,47

10.13 0.39.

21 IQ33 0,25

2 2 9.71 Q31

23 151 0.25

24 10.42 Q28

25 lQ54 a46

26 10,21 0.48

27 10.70 0,46

28 11.70 0.51

29 11.77 0.58

30 12,21 Q44

31 12.9 0.61

32 12,42 o~41

33 13.17 Q45

34 10.92 an

» 939 ‑ 1

11‑,~,,~,»‑ ‑

.1 ~ ‑‑‑~1