Método de Shooting (Predictor)
La base de este método consiste en partir de cierta condición inicial, y propagar la solución hasta un radio determinado. Se discretizan la función y sus derivadas, escribiendo la derivada primera de una función Y(i) (o sea, la función Y valuada en el punto i):
DY(i) = ( Y(i+1) - Y(i) ) / Dx |
Donde Dx es el ancho del intervalo ( Dx = x(i+1) - x(i) ).
Del mismo modo, derivando una vez mas, la derivada segunda se escribe:
D2Y(i) = ( Y(i+1) + Y(i-1) - 2Y(i) ) / (Dx)**2 |
Implementaremos éste método para resolver el problema de un pozo finito, de ancho D y altura V0, usando el programa schro.for:
program schrodinger c...... Solves the time-independent Schrodinger equation c...... for a potential box. Uses simple finite differences c by Dario Mitnik implicit real*8(a-h,o-z) c....... initial values print*,' give the number of grid points' read*,npts c....... Potential Box print*,' give the size D of the potential box (-D/2 to D/2)' read*,d print*,' give the depth V0 of the potential well' read*,V0 c......... Initial Points print*,' give the initial value of the wavefunction P(0) ' read*,p00 print*,' give the initial value of the derivative at 0 Y(0) ' read*,y00 100 open(unit=10,file='wave.dat',status='unknown') print*,' guess initial energy value' read*,Ener p0 = p00 y0 = y00 c...... Other values dx = D/(2*npts) c...... initial point P(1) p1 = p0 + dx*y0 write(10,55) dx-dx,p0 write(10,55) dx,p1 55 format(2(1x,1pg14.4)) c...... Solving the Schrodinger Equation do 200 i=2,npts*15 V = V0 if (i*dx.le.D/2) V = 0.0 p = (2.0 + dx*dx*(V-Ener))*p1 - p0 write(10,55) dx*i,p p0 = p1 p1 = p 200 continue close(unit=10,status='keep') print*,' Continue? No=0' read*,icont if (icont.ne.0) go to 100 stop end |
Tal como se puede ver en el listado del programa, este requiere los datos del pozo (ancho D y altura V0), y los datos iniciales de la función de onda. Luego se deben ingresar distintos valores de la energía (es lo que debemos hallar!), e ir variando éstos hasta que la solución converja a un resultado adecuado. Inicialmente el programa utiliza los valores de la función en los dos primeros puntos (P0 y P0), y calcula el valor para el tercer punto (P). Luego, utilizando los puntos 2 y 3, calcula el valor para el punto 4, y así sucesivamente. En el gráfico siguiente, podemos ver un ejemplo del uso de este programa, y como se ven las soluciones, adivinando diferentes valores de la energía:
Ejercicios:
a) Qué ocurre con las energías?
b) Qué ocurre con el número de nodos?
a) Cómo cambian las funciones de onda?
b) Qué ocurre con las energías?
c) Se puede determinar la profundidad del pozo conociendo sólo la energía del estado básico? Demostrarlo
Método Predictor-Corrector
En este método no sólo se propaga la solución en "sentido saliente", sino que luego se calcula otra solución "entrante" y se las compara.El programa numerovbound.for ilustra el funcionamiento del método:
Ejercicios:
c-------finding the energy using the Ridley Method
c.......E.C. Ridley, Proc. Cambridge Phil. Soc. 51, 702 (1955).
c Delta E = ( logderiv(inwd) - logderiv(outw) )
c -----------------------------------
c ( Intgrl(inwd^2) + Intgrl(outw^2) )
c -------------- --------------
c inwd^2 outw^2
c logderiv(outw) = F'/F at r=rmatch
c logderiv(inwd) = G'/G at r=rmatch
c Intgrl(outw^2) = Int_{0}^{rmatch}{F^2}
c Intgrl(inwd^2) = Int_{rmatch}^{rmax}{G^2}
c F is the outward solution and G is the inward solution
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Darío Mitnik
U.B.A.