Práctica Computacional: La Ecuación de Schrödinger
Oscilador Armónico

Instructor: Darío Mitnik


Parte teórica

Resolver el estádo básico (ground state) del oscilador armónico, $E_p = \frac{1}{2}kx^2$. 


Procedimiento de solución: probar la posible solución
$\Psi(x) = Ae^{-ax^2}$, 
donde A y a son constantes, que se determinarán 
reemplazando esta función en la Ecuación 
de Schrödinger. 

Este problema admite solución general (para todos los niveles).
En la derivación, tener en cuenta que al reemplazar la funcion dada, 
los coeficientes de las distintas potencias deben cancelarse individualmente.

Preguntas

  1. Cuál es la energía del estado básico?
  2. Cuál es la paridad de esta funcion de onda?
  3. Calcular $<x>$ y $<x^2>$
  4. suponiendo que $\Delta_x \approx \sqrt{<x^2>}$, y $\Delta_p \approx \sqrt{<p^2>}$, expresar $E(\Delta_x)$. Usando el principio de incertidumbre y calculando el mínimo de $E(\Delta_x)$, estimar la energía del estado básico.
  5. La solución general del problema es: $\Psi_n = N_n H_n(ax) e^{-a^2x^2/2}$, donde $N_n=\sqrt{a/(\sqrt{\pi}2^n n!)}$ y $a=\sqrt{m\omega/\hbar}$, y $H_n$ son los polinomios Hermite: $H_n(\xi) = (-1)^n e^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n}(e^{-\xi^2})$.

Parte computacional

El ejemplo OSCILLATOR.NB puede ser utilizado en el programa MATHEMATICA, para resolver los siguientes ejercicios:

  1. Graficar las 4 primeras funciones de onda.
  2. Cuál es la paridad de las funciones de onda?
  3. Graficar las densidades de probabilidad.
  4. Comparar descriptivamente estas soluciones con el caso clásico.

oscillator.nb 


[Graphics:Images/oscillator.nb_gr_1.gif]
[Graphics:Images/oscillator.nb_gr_2.gif]

[Graphics:Images/oscillator.nb_gr_3.gif]

[Graphics:Images/oscillator.nb_gr_4.gif]

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Darío Mitnik
U.B.A.