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\long\def\symbolfootnote[#1]#2{\begingroup%
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}\footnote[#1]{#2}\endgroup} 

\hyphenation{ co-rres-pon-dien-tes cons-ta tem-pe-ra-tu-ra 
              i-rre-ver-si-ble su-mi-nis-trar me-dian-te 
	      si-guien-tes pro-ba-bi-li-dad co-rres-pon-dien-te}

\begin{document}

\lhead[\fancyplain{}]{Estructura 3 }
\rhead[\fancyplain{}]{STO}

\begin{center}
{\Large \bf Problemas de Estructura 3} \\
{\large \bf Funciones de Base At\'omicas 1: Orbitales de Slater } \\
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{enumerate}

\item{\bf Bases Hidrog\'enicas}

 \begin{enumerate}
  \item Calcular el valor medio $\langle r \rangle$ y el valor   
        $r_{max}$ en el cual las funciones hidrog\'enicas son m\'aximas.
  \item Generar los orbitales de Hartree--Fock para el estado fundamental 
        del carbon ($1s^22s^22p^2 \,\, \, ^3P$).
  \item Calcular los $r_{max}$ para cada uno de estos orbitales.
  \item Expandirlos en una base de funciones radiales hidrog\'enicas.
  \end{enumerate}


\item{\bf Orbitales de Slater con exponentes fijos}

Se definen los orbitales de Slater (STO) de la forma:
\begin{eqnarray}
R_n^{STO}(r,\xi) = \sqrt{\frac{ (2 \xi)^{2n+1}}{(2n)!} } \, r^{n-1} 
\, e^{-\xi r}  \nonumber  \, . 
\end{eqnarray}
Cuando el exponente $\xi$ es fijo, estas funciones constituyen una 
base completa.
 \begin{enumerate}
  \item Chequear si las funciones son ortonormales.
  \item Calcular el valor medio $\langle r \rangle$ y el valor   
        $r_{max}$ en el cual las funciones son m\'aximas.
        
  \item Para el \'atomo de Hidr\'ogeno, mostrar que las funciones radiales 
        que no tienen nodos ($l=n-1$) coinciden con los orbitales 
        $R_n^{STO}(r,Z)$.
  \item Expandir la funci\'on radial $R_{3s}$ en STO's.
  \item Generalizar ambas respuestas para iones hidrog\'enicos 
        (con $\xi \equiv \frac{Z}{n}$).
  \item Expandir los orbitales de Hartree--Fock para el estado fundamental 
        del carbon en STO's.
  \end{enumerate}

\item{\bf Orbitales de Slater con exponentes variable}

Se definen los orbitales de Slater (STO) de la forma:
\begin{eqnarray}
R_{nl}^{STO}(r,\xi_{nl}) = \sqrt{\frac{ (2 \xi_{nl})^{2l+3}}{(2l+3)!} } 
\, r^{l} \, e^{-\xi_{nl} r}  \nonumber  \, . 
\end{eqnarray}
 \begin{enumerate}
  \item Dibujar y comparar las funciones $R_{ns}^{STO}(r,1)$ con las 
        $R_{n}^{STO}(r,1)$, para $n=1,2,3$.
        Encontrar los valores medios $\langle r \rangle$ y los $r_{max}$.
  \item Dibujar y comparar las funciones $R_{1s}^{STO}(r,1)$ con las 
        $R_{ns}^{STO}(r,\frac{1}{n})$, para $n=1,2,3$.
  \item Elegir una funci\'on radial $R_{3s}$ hidrog\'enica, y expandirla 
        en STO's con exponentes variables.
  \item Repetir con el orbital $2p$ del estado fundamental del carbon.
  \end{enumerate}


\item{\bf Base M\'{\i}nima de Orbitales Slater ({\it single--zeta})}

Esta base se construye combinando un \'unico 
$R_{nl}^{STO}(r,\xi_{nl})$, por orbital $nl$ a expandir. 
Los exponentes $\xi_{nl}$ se eligen, de modo que al calcular el valor 
medio $\langle r \rangle_{nl}$, se obtengan los valores de expectaci\'on 
de cada uno de los orbitales HF a expandir.
 \begin{enumerate}
    \item Calcular los exponentes de las funciones de base m\'{\i}nima 
          para los orbitales del estado fundamental del C.
    \item Generar los elementos de la base m\'{\i}nima para expandir 
          estos orbitales.
    \item Expandir los orbitales HF en esta base.
    \item Utilizar la misma base, e intentar expandir los orbitales 
          del t\'ermino $^1P$. 
  \end{enumerate}


\item{\bf Base Extendida de Orbitales Slater ({\it double--zeta}, etc.)}

Esta base se construye combinando un grupo de funciones 
$R_{1s}^{STO}(r,\xi_{ns})$ (o sea, funciones $1s$ con exponentes 
variables), con un grupo $R_{2p}^{STO}(r,\xi_{np})$, etc.

 \begin{enumerate}
    \item Utilizando los coeficientes optimizados para el t\'ermino 
$^3P$ del estado fundamental del C, dados en la Tabla 6.5 
\symbolfootnote[4]{{\it Molecular Electronic--Structure Theory}, 
T. Helgaker, P. Jorgensen, and J. Olsen.}, 
expandir los orbitales de HF en la base extendida.
  \end{enumerate}




\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}

