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\pagestyle{fancyplain} 
\long\def\symbolfootnote[#1]#2{\begingroup%
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}\footnote[#1]{#2}\endgroup} 

\hyphenation{ co-rres-pon-dien-tes cons-ta tem-pe-ra-tu-ra 
              i-rre-ver-si-ble su-mi-nis-trar me-dian-te 
	      si-guien-tes pro-ba-bi-li-dad co-rres-pon-dien-te}

\begin{document}

\lhead[\fancyplain{}]{Estructura 3 }
\rhead[\fancyplain{}]{Iones con dos electrones}

\begin{center}
{\Large \bf Problemas de Estructura 3} \\
{\large \bf Iones con dos electrones } \\
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{enumerate}
\item Preguntas de Repaso

  \begin{enumerate}

\item Realizar un gr\'afico de las energ\'{\i}as de los niveles 
correspondientes a las configuraciones $1s2s$ y $1s2p$ del He.

\item Calcular las transiciones posibles entre estos niveles.

\item Calcular los valores medios $\langle (r_1 - r_2)^2 \rangle$ para 
un sistema de dos part\'{\i}culas en el cual una se encuentra en el 
estado $\varphi_a(r)$ y la otra en $\varphi_b(r)$. Asumir que 
estas part\'{\i}culas son
  \begin{enumerate}
   \item Part\'{\i}culas id\'enticas
   \item Fermiones, estado $S=0$
   \item Fermiones, estado $S=1$
  \end{enumerate}
 
\item Realizar un dibujo esquem\'atico de las energ\'{\i}as de los 
t\'erminos del He (hasta $L=3$). 
Incluir en el gr\'afico las energ\'{\i}as en orden 0, 
sin repulsi\'on interelectr\'onica.

  \end{enumerate}


\item Calcular las energ\'{\i}as de los t\'erminos $1s^2~(1S)$, 
$1s2s~(2~^1S)$, $1s2s~(2~^3S)$,
$1s2p~(2~^1P)$, $1s2p~(2~^3P)$, para el Helio y para otro 
i\'on de la serie isoelectr\'onica. 
Realizar una tabla esquem\'atica resumiendo los resultados.
Las aproximaciones a utilizar son:

  \begin{enumerate}
\item Modelo de part\'{\i}cula independiente (producto de funciones 
hidrogenoides, omitiendo la repulsi\'on interelectr\'onica)
\item Producto de funciones hidrogenoides con carga efectiva 
$Z_{eff}=Z-0.3$.
\item Producto de funciones $1s$ (no apantallada) y $nl$ (completamente 
apantallada).
\item Producto de funciones hidrogenoides con potencial efectivo 
$V_{eff}(r)$.
  \end{enumerate}

\pagebreak
\item Interacci\'on interelectr\'onica 

\bigskip 
Se definen los t\'erminos de interacci\'on interelectr\'onica como
\begin{eqnarray*}
J_{\alpha,\beta} &=& 
\int |\varphi_{\alpha}(\vec{r}_1)|^2 \, 
\frac{1}{r_{12} } \, 
 |\varphi_{\beta}(\vec{r}_2)|^2 \, 
d\vec{r}_1 \, d\vec{r}_2   \\
K_{\alpha,\beta} &=& 
\int \varphi^*_{\alpha}(\vec{r}_1)\varphi^*_{\beta}(\vec{r}_2)  \, 
\frac{1}{r_{12} } \, 
  \varphi_{\alpha}(\vec{r}_2)\varphi_{\beta}(\vec{r}_1)  \, 
d\vec{r}_1 \, d\vec{r}_2  
\end{eqnarray*}

  \begin{enumerate}
\item Calcular la integral $J_{1s,1s}$, y por medio de ella, 
calcular la energ\'{\i}a del estado fundamental del Helio, 
utilizando como base un producto de funciones hidrog\'enicas. \\
\underline{Ayuda}: Esta integral est\'a resuelta en el libro de 
Griffiths (entre otros varios).
\item Calcular las integrales $J_{1s,2s}$, $J_{1s,2p}$, 
$K_{1s,2s}$ y $K_{1s,2p}$. 
Calcular las energ\'{\i}as de los niveles $1s2s$ y $1s2p$,  
asumiendo una base de producto de estados hidrog\'enicos. \\
\underline{Ayuda}: Estas integrales est\'an resueltas en el libro de 
Bransdsen y Joachain (entre otros).
\item Las integrales $J$ y $K$ tienen simples expresiones
anal\'{\i}ticas para funciones Gaussianas. Encontrarlas. 
   \end{enumerate}

\item Agregar en la tabla de resultados, los que se obtienen de 
c\'alculos que emplean:
  \begin{enumerate}
\item M\'etodo variacional (par\'ametro variacional: la carga).
\item M\'etodo variacional (combinaci\'on de Gaussianos 
$\chi_i(r) = e^{-\alpha_i r^2}$, con $\alpha_1=0.298073$, 
$\alpha_2=1.242567$, $\alpha_3=5.782948$, $\alpha_4=38.474970$, 
para el $1s2s$. (Elegir un s\'olo caso adicional, con par\'ametros 
a elecci\'on propia).
  \end{enumerate}

\item Repetir los resultados para 
diferentes iones isoelectr\'onicos al Helio (comenzando con $H^{-}$ 
y s\'olo para el estado fundamental).
Comparar los resultados en una tabla con los obtenidos utilizando 
\begin{enumerate}
\item Funciones de Byron y Joachain
\item Funciones de Chandrasekhar
\item M\'etodo Hartree--Fock 
\item Tablas de Bunge (He)
\item Programa {\sc Autostructure}
\end{enumerate}

\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}

