
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{psfig}
%\usepackage{amsmath}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{graphics}
\RequirePackage{graphicx}

\pagestyle{fancyplain} 
\long\def\symbolfootnote[#1]#2{\begingroup%
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}\footnote[#1]{#2}\endgroup} 

\hyphenation{ co-rres-pon-dien-tes cons-ta tem-pe-ra-tu-ra 
              i-rre-ver-si-ble su-mi-nis-trar me-dian-te 
	      si-guien-tes pro-ba-bi-li-dad co-rres-pon-dien-te}

\begin{document}

\lhead[\fancyplain{}]{Estructura 3 }
\rhead[\fancyplain{}]{Verano 2016}

\begin{center}
{\Large \bf Estructura 3} \\
{\large \bf Aplicaciones Pr\'acticas: Colisiones y Polarizabilidad } \\
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
{\large {\bf Parte A}: Colisi\'on Hidr\'ogeno--Kript\'on} 

\bigskip
El objetivo de esta aplicaci\'on es calcular la secci\'on eficaz 
total de la colisi\'on entre un \'atomo de Hidr\'ogeno con 
un \'atomo de Kript\'on. 
Esta colisi\'on ha sido estudiada por Toennies 
{\it et al.} (J. Chem. Phys. {\bf 71}, 614 (1979)), por lo cual 
podremos comparar nuestros resultados con el experimento.

Los pasos a seguir son:
\begin{enumerate}

\item Suponemos que el potencial de interacci\'on H--Kr se puede 
modelar con un potencial de {\it Lennard--Jones} 
\begin{equation}
V(r) = \epsilon \left[ 
                \left( \frac{\rho}{r} \right)^{12} 
               - 2\left( \frac{\rho}{r} \right)^6 
               \right] \, ,
\end{equation}
donde $\epsilon=5.9$ meV y $\rho=3.57$ \AA.

\item Solucionamos la ecuaci\'on de Schr\"odinger para $l=0$ desde el 
origen hasta un punto en el cual el potencial es despreciable.

\item Con la soluci\'on radial calculamos el corrimiento de fase 
$\delta_0$.

\item Se repite el mismo procedimiento para diferentes $l$.

\item Una vez obtenidos los $\delta_l$, se obtiene la secci\'on 
eficaz total.

\item El experimento citado muestra resonancias correspondientes a 
$l=4,5$ y 6. Debemos realizar los c\'alculos en las energ\'{\i}as 
correspondientes, de manera de poder comparar nuestros resultados.

\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagebreak
{\large {\bf Parte B}: Polarizabilidad del Estado Fundamental del H}
\bigskip

El objetivo de esta aplicaci\'on es calcular la polarizabilidad 
dipolar del estado $1s$ del Hidr\'ogeno.
La polarizabilidad es la magnitud del momento dipolar {\bf D}. 
Este dipolo, en presencia de un campo el\'ectrico {\bf E}, experimenta 
una energ\'{\i}a $\Delta= - {\mathbf D} \cdot {\mathbf E}$.
El plan entonces es perturbar el Hamiltoniano at\'omico con un 
campo el\'ectrico (con lo cual la interacci\'on es $H'= e E z$). 
Una vez calculado el cambio en la energ\'{\i}a del estado ($\Delta$) 
debido a la perturbaci\'on, calculamos el dipolo haciendo 
\begin{equation}
{\mathbf D} = - \frac{\partial \Delta}{\partial E} \, . 
\end{equation}

El procedimiento sugerido es el siguiente:
\begin{enumerate}

\item Comprobar que a primer orden la perturbaci\'on no produce 
ning\'un cambio energ\'etico en el estado fundamental.

\item Estimar un l\'{\i}mite m\'aximo del cambio de energ\'{\i}a 
haciendo segundo orden de teor\'{\i}a de perturbaciones.

\item Calcular los elementos de matriz y las energ\'{\i}as 
correspondientes para poder evaluar la correcci\'on del segundo 
orden. Si est\'a todo bien, los resultados deber\'{\i}an 
converger a un valor cercano al l\'{\i}mite obtenido en el paso 
anterior. Si se obtiene convergencia a un valor diferente, 
es probable que exista un error num\'erico, pero tambien es 
posible que el error sea conceptual.

\item Una vez que se obtiene la correcci\'on de energ\'{\i}a $\Delta$, 
se obtiene la polarizabilidad dipolar {\bf D}. 
Tener en cuenta que esta es proporcional al campo el\'ectrico, por lo 
que se trata de un momento dipolar {\it inducido}.

\item El c\'alculo detallado fue realizado por A. Dalgarno, y se 
encuentra detallado en los libros de Schiff y de Merzbacher.

\end{enumerate}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}

