Propagación Temporal de un Paquete de Ondas

Propagación Temporal de un Paquete de Ondas libres

 En esta parte analizaremos como se propaga un paquete de ondas libres, o sea, bajo un Hamiltoneano cuyo potencial es V(x)=0. Utilizaremos el programa explicit.for el cual resuelve la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en forma explícita: 

        subroutine propagation

c.......explicit propagation
c       Fi(n+1) = [1 - i/h Dt*H] [Fi(n)]

        parameter (mxpts=100,mxtime=10000)
        complex fin(0:mxpts),fin1(0:mxpts)
        common/bkmesh/ timef,dx,dt,width,rk0,x0,nxpts,ntpts
        common/bkwave/ fin,fin1
        complex op(mxpts+1,mxpts+1)
        common/bkop /op
        
        do 100 i=0,nxpts
                fin1(i) = 0
                do 50 j=0,nxpts
                  fin1(i) = fin1(i) + op(i+1,j+1)*fin(j)
50              continue
100     continue
        do 200 i=0,nxpts
                fin(i) = fin1(i)
200     continue
        return

Este programa requiere de schrod.inp como input file, y genera wave0.out (la función inicial), wavef.out (la función propagada final) y wavean.out (la función propagada teórica). Si podés trabajar con librerías lapack (from Netlib)), hay una versión mejorada de este problema que utiliza una propagación implícita ( implicit.for), o mejor aún un algoritmo implícito- explícito (Crank-Nicolson algorithm) ( impexplicit.for). Las subrutinas/funciones auxiliares necesarias para correr estos programas están en cgesv.tar.gz.

El procedimiento en este caso es:: 

 gunzip cgesv.tar.gz
 tar -xvf cgesv.tar
 g77 -c *.f
 g77 implicit.for *.o -o implicit.x

Un ejemplo de propagación temporal lo tenemos en el siguiente gráfico:

Preguntas y Problemas:

  • Demostrar que la función de propagación teórica dada en el programa es correcta.
  • Modificar los parámetros y obtener distintas velocidades de propagación.
  • Calcular la velocidad con la que se desplaza el paquete de ondas, y el tiempo que tarda en llegar hasta la pared. En ese instante, generar un paquete de ondas que se desplace con la misma velocidad que el paquete incidente, pero en dirección contraria. Comparar el desplazamiento de este nuevo paquete de ondas, con el paquete original (que ahora estara siendo reflejado por la pared). Existe un frenado ("time delay")?
  • Avanzado: Agregar una subrutina que calcule la velocidad de desplazamiento.

    Colisión de un paquete de ondas
    Ahora modificaremos el programa anterior, y le agregaremos un potencial (en principio, un escalón).


    Preguntas y Problemas:

  • Hallar las velocidades de desplazamiento de las distintas ondas.
  • Verificar si existe algún frenado de ondas.
  • Comparar la amplitud y el ancho de los paquetes de onda reflejados y transmitidos con los resultados teóricos.
  • Avanzado: Agregar una subrutina que calcule las ondas en forma teórica.
  • Cambiar el potencial por un pozo, y buscar alguna resonancia en baja energía (variando la altura del pozo). En este caso verificar el comportamiento del desplazamiento de fase (phase shift).

    Oscilador Armónico:

  • Cambiar el potencial por el de un oscilador armónico. Partir de un paquete en el centro del potencial, con velocidad inicial igual a v(t=0)=0.
  • Qué sucede con la función de onda.
  • Verificar el comportamiento de la parte real de la función.

    Caja Permeable

  • La caja permeable es una caja que en lugar de estar limitada por un potencial infinito, está limitada por dos funciones delta. Disparar la partícula desde la izquierda y comprobar qué sucede cuando ésta tiene una energía cercana a la de un estado ligado del sistema.

    Molécula de H2+

  • Utilizar el ejemplo anterior para simular una molécula de H2+. En este caso, en lugar de propagar un paquete de ondas, se puede propagar una función propia de este potencial (y verificar que no ocurre nada, o sea: es un estado estacionario). Luego, se puede propagar una autofunción del "atomo" de Hidrógeno (modelado con un pozo), y comprobar que oscila entre los dos centros tal como lo muestra la Figura:

    Lecturas Auxiliares Recomendadas:


  • Quantum Movies - by Francis Robicheaux .