Raíces y Extremos de una función unidimensional
Los temas cubiertos en este capítulo están
basados en los libros:
Computational Physics, de Steven E. Koonin,
The Benjamin/Cummings Publishing Company (1986)
An Introduction to Computational Physics, de Tao Pang,
Cambridge University Press (2003)
Ceros de una función unidimensional
En física nos encontramos a menudo con la necesidad de
encontrar el posible valor de x que soluciones la
ecuación f(x)=0.
Si ese valor existe, se lo llama raíz
de la ecuación.
Veremos 3 métodos para encontrar estas raices:
Método de bisección
Este es el método mas intuitivo y consiste en encontrar la
solución en un intervalo [a,b] tal que
Luego dividimos la región en dos partes con
Tenemos dos casos:
Si f(a)f(x1) < 0,
entonces
x2 = (a + x1) / 2
|
Si f(x1)f(b) < 0,
entonces
x2 = (x1 + b) / 2
|
Se repite el procedimiento hasta que xi sea menor
que una cierta tolerancia &Delta.
Ejercicios:
Utilizar el programa
bisection.for para
encontrar las raíces de f(x)=exln(2x) -
x3.
Método de Newton
Este método (tambien conocido como Newton_Raphson)
utiliza una aproximación lineal
alrededor de la raíz.
Basándonos en la expansión de Taylor alrededor de la
raíz x0
f(x0) = f(x) + (x0 -x) f'(x) + ...
|
Si nos fuesemos aproximando iterativamente a la solución correcta,
entonces en el paso n tendríamos que el valor del
siguiente paso xn+1 sería
f(xn+1) = f(xn) + (xn+1 - xn) f'(xn) ~ 0
|
Resolviendo, la raíz se obtiene como
Ejercicios:
Utilizar el programa
newton.for para
encontrar las raíces de f(x)=exln(2x) -
x3.
Método de la secante
Este método es una variante del método de Newton,
en el cual no conocemos la derivada de la función, y la
hacemos numéricamente.
Se reemplaza, en primer orden por
xn+1 = xn - f(xn)(xn-xn-1)/(f(xn)-f(xn-1) )
|
Ejercicios:
Modificar el programa
newton.for para
encontrar las raíces de f(x)=exln(2x) -
x3 por el método de la secante.
(Si no sale, ver
secante.for).
Comparar los tres métodos dados
Extremos de una función
Conociendo los métodos para obtener las raíces de una
función, calcular sus extremos es tan solo una aplicación
directa de estos métodos.
Se trata de obtener el extremo de f(x) haciendo
Dado que esta raíz no determina que tipo de extremo es,
se debe aceptar o rechazar los valores que aparecen en las
iteraciones, de acuerdo a si buscamos un máximo o mínimo.
Ejercicios:
Calcular la distancia de ligadura de la molécula NaCl.
El potencial de interacción está dado por
V(x) = -e2/r + &alpha e-r/&rho
|
donde e es la carga del protón, &alpha=1.09 x 103 eV y
&rho=0.330 Å .
(Respuesta: 2.36 Å)
Darío Mitnik