La Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Darío Mitnik

Método de Shooting (Predictor)

La base de este método consiste en partir de cierta condición inicial, y propagar la solución hasta un radio determinado. Se discretizan la función y sus derivadas, escribiendo la derivada primera de una función Y(i) (o sea, la función Y valuada en el punto i):

DY(i) = ( Y(i+1) - Y(i) ) / Dx

Donde Dx es el ancho del intervalo ( Dx = x(i+1) - x(i) ).
Del mismo modo, derivando una vez mas, la derivada segunda se escribe:

D2Y(i) = ( Y(i+1) + Y(i-1) - 2Y(i) ) / (Dx)**2

Aquí presentamos un ejemplo simple de un potencial Woods-Saxon, resuelto con este método. El Notebook para Mathematica, se puede bajar de numerov.nb.

[Graphics:Numerovmath/numerov_gr_2.gif]

[Graphics:Numerovmath/numerov_gr_6.gif]

[Graphics:Numerovmath/numerov_gr_10.gif]

Implementaremos éste método para resolver el problema de un pozo finito, de ancho D y altura V0, usando el programa schro.for:

program schrodinger c...... Solves the time-independent Schrodinger equation c...... for a potential box. Uses simple finite differences c by Dario Mitnik implicit real*8(a-h,o-z) c....... initial values print*,' give the number of grid points' read*,npts c....... Potential Box print*,' give the size D of the potential box (-D/2 to D/2)' read*,d print*,' give the depth V0 of the potential well' read*,V0 c......... Initial Points print*,' give the initial value of the wavefunction P(0) ' read*,p00 print*,' give the initial value of the derivative at 0 Y(0) ' read*,y00 100 open(unit=10,file='wave.dat',status='unknown') print*,' guess initial energy value' read*,Ener p0 = p00 y0 = y00 c...... Other values dx = D/(2*npts) c...... initial point P(1) p1 = p0 + dx*y0 write(10,55) dx-dx,p0 write(10,55) dx,p1 55 format(2(1x,1pg14.4)) c...... Solving the Schrodinger Equation do 200 i=2,npts*15 V = V0 if (i*dx.le.D/2) V = 0.0 p = (2.0 + dx*dx*(V-Ener))*p1 - p0 write(10,55) dx*i,p p0 = p1 p1 = p 200 continue close(unit=10,status='keep') print*,' Continue? No=0' read*,icont if (icont.ne.0) go to 100 stop end

Tal como se puede ver en el listado del programa, este requiere los datos del pozo (ancho D y altura V0), y los datos iniciales de la función de onda. Luego se deben ingresar distintos valores de la energía (es lo que debemos hallar!), e ir variando éstos hasta que la solución converja a un resultado adecuado. Inicialmente el programa utiliza los valores de la función en los dos primeros puntos (P0 y P0), y calcula el valor para el tercer punto (P). Luego, utilizando los puntos 2 y 3, calcula el valor para el punto 4, y así sucesivamente. En el gráfico siguiente, podemos ver un ejemplo del uso de este programa, y como se ven las soluciones, adivinando diferentes valores de la energía:

Ejercicios:

Compilar y ejecutar el programa, revisar si las soluciones dadas son correctas, y si hay algún error en el programa, modificarlo hasta que dé resultados adecuados!.

Graficar los resultados

Cuántos estados ligados hay?

Aumentar progresivamente la profundidad del pozo de potencial, hasta encontrar más estados ligados:
a) Qué ocurre con las energías?
b) Qué ocurre con el número de nodos?

Aumentar progresivamente el ancho del pozo de potencial:
a) Cómo cambian las funciones de onda?
b) Qué ocurre con las energías?
c) Se puede determinar la profundidad del pozo conociendo sólo la energía del estado básico? Demostrarlo

Analizar la paridad de las funciones obtenidas

Modificar el programa de manera que se puedan ingresar los

Modificar el programa y solucionar la ecuación de Schrödinger para otro potencial

Comparar (graficando) los resultados con los resultados analíticos

Implementar un algoritmo tal que el programa encuentre por sí mismo las energías correctas de los estados ligados

(Solucion: tratar de no ver el programa numerovbound.for).

Método Predictor-Corrector

En este método no sólo se propaga la solución en "sentido saliente", sino que luego se calcula otra solución "entrante" y se las compara.
El programa numerovbound.for ilustra el funcionamiento del método:

Ejercicios:

Escribir un programa para calcular las funciones de onda del átomo de hidrógeno.

(Solucion: tratar de no ver el programa hydronumer.for)

Escribir un programa para calcular las funciones de onda del átomo de hidrógeno, pero en este caso, las energías no son datos:

c-------finding the energy using the Ridley Method c.......E.C. Ridley, Proc. Cambridge Phil. Soc. 51, 702 (1955). c Delta E = ( logderiv(inwd) - logderiv(outw) ) c ----------------------------------- c ( Intgrl(inwd^2) + Intgrl(outw^2) ) c -------------- -------------- c inwd^2 outw^2 c logderiv(outw) = F'/F at r=rmatch c logderiv(inwd) = G'/G at r=rmatch c Intgrl(outw^2) = Int_{0}^{rmatch}{F^2} c Intgrl(inwd^2) = Int_{rmatch}^{rmax}{G^2} c F is the outward solution and G is the inward solution