Problemas
Teoría de Perturbaciones II. Casos degenerados

  1. Dada la matriz
    $\displaystyle \hat{H} = \hat{H_0} + \hat{H_1} = \left( \begin{tabular}{ccc} 20 ... ...\begin{tabular}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{tabular}\right)$      

    construida usando una base ortonormal $\left\{ \phi_i \right\}$

    1. Comprobar que las energías exactas son $E_1=20.806$, $E_2=18.805$ y $E_3=30.389$
    2. Comparar estos resultados con los obtenidos usando teoría de perturbaciones, en los órdenes 0, 1 y 2.

  2. Calcular las energías de los primeros cuatro estados de un pozo bidimensional infinito de ancho $a$, perturbado por un potencial $H_1=\lambda \hat{x}\hat{y}$
    Solución: los estados tienen energías
    1. $E_1 = \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{a^2} 2$
    2. $E_2 = \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{a^2} 5 + \frac{\lambda a^2}{4} (1 - \frac{1024}{82 \pi^4})$
    3. $E_3 = \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{a^2} 5 + \frac{\lambda a^2}{4}$
    4. $E_4 = \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{a^2} 5 + \frac{\lambda a^2}{4} (1 + \frac{1024}{82 \pi^4})$

  3. Un electrón se encuentra en un pozo cúbico de ancho $a$, y tiene una energía $E=\frac{3}{4}\frac{\hbar^2}{ma^2}$.
    1. Determinar la corrección a $1^{er}$ orden de la energía de ese estado, al aplicarse como perturbación un campo eléctrico $\epsilon$ en dirección $\hat{z}$
    2. Repetir el problema, ahora para la perturbación $H_1=b \epsilon \hat{x} \hat{y}$.
      Solución: los estados tienen energías
      1. $E_1 = b \epsilon a^2 \left[ \left( -\frac{16}{9 \pi^2} \right)^2 + \frac{1}{4} \right]$
      2. $E_2 = \frac{b \epsilon a^2}{4}$
      3. $E_3 = b \epsilon a^2 \left[ \left( \frac{16}{9 \pi^2} \right)^2 + \frac{1}{4} \right]$

  4. Calcular las energías de los primeros cuatro estados de un pozo cúbico infinito de ancho $a$, perturbado por un potencial $H_1=V_0$ para $0 \leq x \leq \frac{a}{2}$ y $0 \leq y \leq \frac{a}{2}$

  5. Calcular las energías de los primeros cuatro estados de un pozo cúbico infinito de ancho $a$, perturbado por un potencial
    $\displaystyle H_1= a^3 V_0 \delta(x-\frac{a}{4}) \delta(y-\frac{a}{2}) \delta(z-\frac{3}{4}a)$      

  6. Un sistema de pesas unidas (dumbbell) con momento de inercia $I$ que rota con momento angular $l$, tiene autoestados
    $\displaystyle E_l = \frac{\hbar ^2 l (l+1)}{2 I}$      

    Si las pesas estan cargadas (cargas opuestas), el sistema se convierte en un dipolo $d$ que rota.

    1. Calcular los cambios de energía en $1^{er}$ orden cuando se le aplica un campo eléctrico constante
    2. Calcular lo mismo, aplicandole un campo magnético constante

  7. Calcular el efecto Stark (influencia de campo eléctrico) en los niveles $n=2$ del átomo de hidrógeno. Calcular las nuevas funciones de onda.

  8. A un oscilador armónico bi-dimensional
    $\displaystyle \hat{H}_0 = \frac{ p_x^2 + p_y^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2}(x^2 + y^2)$      

    se le aplica una perturbación
    $\displaystyle \hat{H}_1 = K' xy = \delta m \omega^2 xy$      

    1. Calcular las energías y las funciones de los primeros 3 estados en primer orden de perturbación
      Solución: los estados tienen energías
      1. $E_1 = \hbar \omega$
      2. $E_2 = 2 \hbar \omega - \frac{\lambda \hbar \omega}{2}$
      3. $E_3 = 2 \hbar \omega + \frac{\lambda \hbar \omega}{2}$
    2. Calcular las energías en forma exacta
      Ayuda: utilizar las variables desacopladas $u \equiv \frac{x + y}{\sqrt{2}}$ y $v \equiv \frac{x - y}{\sqrt{2}}$


Darío Mitnik
U.B.A.