Problemas
Método Variacional

  1. Teorema Variacional
    1. Demostrar el teorema variacional
    2. Demostrar que si $\langle \Psi \vert \Psi_g \rangle = 0$ ($\Psi$ está normalizada), entonces $\langle \Psi \vert H \vert \Psi \rangle \geq E_1$, donde $E_1$ es el primer estado excitado.
    3. >Qué dice el principio variacional respecto a la corrección de la energía del estado fundamental en primer orden de teoría de perturbaciones?
    4. >Qué pasa entonces con la corrección en segundo orden?

  2. $\delta$ Delta de Dirac
    Aplicar el método variacional para resolver el problema de un potencial $\delta$ de Dirac.
    1. Utilizar como función prueba una Gaussiana $\Psi = A e^{-ax^2}$
    2. Utilizar un triángulo de ancho $a$ ($a$ será el parámetro de variación)

  3. Pozo infinito
    Calcular un límite superior para la energía del estado fundamental de un pozo infinito utilizando una función triangular. >Podría usar una Gaussiana en este problema?

  4. Oscilador armónico
    1. Encontrar la mejor función de la forma $\Psi(x) = e^{-a x^2}$ para el estado fundamental del oscilador armónico unidimensional.
      Ayuda: $\int_0^\infty e^{-\alpha x} x^n dx = \frac{n!}{\alpha^{n+1}}$
    2. Encontrar el parámetro que minimice la función $\Psi_{\beta}(x) = x e^{-\beta x^2}$ . Explicar los resultados
    3. Aproximar el estado fundamental del oscilador armónico unidimensional variando la función $\Psi(x) = \frac{A}{x^2 + b^2}$

  5. Atomo de Hidrógeno
    1. Utilizar la función de prueba siguiente
      $\displaystyle \psi_{\alpha} \left\{ \begin{array}{cc} C (1 - \frac{r}{\alpha}) & r\le \alpha \\ 0 & r > \alpha \nonumber \end{array}\right. \nonumber$      

      para encontrar el estado fundamental del átomo de hidrógeno. Comparar los resultados con los exactos.
    2. Repetir el problema con una función de prueba
      $\displaystyle \psi_{\beta} = N e^{-\beta r^2}$      

  6. Oscilador anharmónico Considerar un potencial unidimensional de la forma
    $\displaystyle V(x) = \lambda x^4 .$      

    Utilizar la funcíon variacional
    $\displaystyle \Psi = (\frac{2 \alpha}{\pi})^{\frac{1}{4}} e^{-\alpha x^2} ,$      

    y comparar la mejor energía obtenida para el estado fundamental con el resultado exacto ( $E_0 = 1.06 ~ \frac{\hbar^2}{2m} k^{\frac{1}{3}}$, donde $k=\frac{2m \lambda}{\hbar^2}$).

  7. Método Variacional Lineal
    Aplicar el método variacional al problema de un electrón en una caja, de 2 a.u. de ancho, en una dimensión. Se desea construir una función variacional
    $\displaystyle u = c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) ,$      

    donde
    $\displaystyle f_1(x) = (1 - x^2) \hspace{1cm} {\mathrm y} \hspace{1cm}f_2(x) = (1-x^4)$      

    1. Calcular la energía que se obtiene aplicando el método variacional lineal
    2. Calcular los coeficientes $c_1$ y $c_2$ que dan la mejor energía posible
    3. Dibujar la función de onda resultante y comparar los resultados obtenidos en este ejercicio con los exactos.


Darío Mitnik
U.B.A.