\documentclass[12pt]{article}

\begin{document}

\rightline{\it{Primer cuatrimestre 2006}}

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\centerline{\sc \large {Estructura de la Materia 4}}

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\centerline{\bf Ejercicios Adicionales: Formulaci\'on covariante.}

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{\noindent \bf Ejercicio 1:}

\begin{enumerate}
\item Demuestre que el operador de derivaci\'on temporal junto con el gra\-dien\-te son componentes de un operador diferencial cuadrivectorial contravariante.
\item Usando que la contracci\'on de dos magnitudes cuadritensoriales da por resultado otra magnitud cuadritensorial, decida cu\'ales de las siguientes expresiones corresponden a invariantes relativistas:
\[
\frac{\partial \phi}{\partial t} + {\bf \nabla} \cdot {\bf A}
\]
\[
\frac{\partial \phi}{\partial t} - {\bf \nabla} \cdot {\bf A}
\]
\[
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + {\bf \nabla}^2 \phi
\]
\[
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - {\bf \nabla}^2 \phi
\]
en donde $\phi$ es el potencial escalar y ${\bf A}$ es el potencial vector.
\end{enumerate}

{\noindent \bf Ejercicio 2:}

Considere un campo electromagn\'etico producido por una cuadricorriente de componentes $j_{\mu}$ ($\mu=0,1,2,3$).
\begin{enumerate}
\item Justifique por qu\'e la siguiente expresi\'on:
\[
F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}
\]
en donde $A_{\mu}$ ($\mu=0,1,2,3$) son las componentes del respectivo cua\-dri\-po\-ten\-cial, define un cuadritensor antisim\'etrico.
\item Muestre que las siguientes ecuaciones:
\[
\partial^{\mu} F_{\mu \nu} = j_{\nu}
\]
corresponden a las ecuaciones de Maxwell en gauge de Lorentz.
\item Deduzca que si un cuadritensor es sim\'etrico y otro cuadritensor es antisim\'etrico respecto del intercambio de dos de sus \' indices, entonces la contracci\'on de \'estos necesariamente es nula. Use este resultado y el \' item anterior para demostrar que las ecuaciones de Maxwell implican la conservaci\'on de la carga.
\end{enumerate}

{\noindent \bf Ejercicio 3:} Dado el cuadritensor de campo $F_{\mu \nu}$, considere el cuadritensor de campor {\it dual}, dado por
\[
^{\star}F_{\mu \nu} = \frac{1}{2} \, \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} F^{\rho \sigma}
\]
\begin{enumerate}
\item Encuentre expl\' icitamente las componentes de este cuadritensor en t\'er\-mi\-nos de los campos el\'ectrico ${\bf E}$ y magn\'etico ${\bf B}$.
\item Muestre que ${\bf E} \cdot {\bf B}$ y ${\bf E}^2 - {\bf B}^2$ son invariantes relativistas.
\item Concluya que si los campos el\'ectrico y magn\'etico son perpendiculares en un sistema inercial lo son respecto de cualquier otro sistema.
\item Demuestre que si la intensidad del campo el\'ectrico en un sistema de re\-fe\-ren\-cia es mayor que la del campo magn\'etico es as\' i tambi\'en en cualquier otro sistema inercial.
\end{enumerate}

{\noindent \bf Ejercicio 4:} Una part\' icula de masa (en reposo) $m$ y carga $e$ se encuentra en presencia de un campo electromagn\'etico externo cuyo potencial escalar es $\phi$ y cuyo potencial vector es ${\bf A}$.
\begin{enumerate}
\item Muestre que las ecuaciones de movimiento que se deducen a partir del siguiente lagrangiano:
\[
\mathcal{L} = -\frac{mc^2}{\gamma} + \frac{e}{c} {\bf v} \cdot {\bf A} - e \phi
\]
son las ecuaciones de Lorentz:
\[
\frac{d {\bf p}}{dt} = e \left( {\bf E} + \frac{1}{c} {\bf v} \times {\bf B}\right)
\]
\item Demuestre que las tres componentes de la fuerza de Lorentz son las componentes espaciales de un cuadrivector. Encuentre expl\' icitamente la componente temporal.
\item Demuestre que el lagrangiano es un in\-va\-rian\-te re\-la\-ti\-vis\-ta. Para ello mues\-tre que se lo pue\-de reescribir como suma de contracciones cuadritensoriales.
\item A partir del \' item anterior, deduzca las siguientes ecuaciones de mo\-vi\-mien\-to:
\[
\frac{dp_{\mu}}{d\tau} = \frac{e}{mc} F_{\mu \nu} p^{\nu}
\]
y muestre que son consistentes con los resultados anteriores.
\end{enumerate}

\end{document}
