\documentstyle[12pt]{article}
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\begin{document}
\noindent{\large \bf Estructura de la Materia 4 (2006-1c) \\
Pr\'actica 1: F\'{\i}sica Nuclear }\\

\begin{enumerate}

\item  Usando la tabla {\it
http://www.nndc.bnl.gov/wallet/wallet05.pdf} verifique  que la
part\'{\i}cula $\alpha$ ( n\'ucleo de $_2{\rm He}^4$) es estable y
que  no  existe ning\'un n\'ucleo estable con $A=5$. Diga de qu\'e
modo decaen estos \'ultimos.

\item Considere la fusi\'on de los distintos is\'otopos del
hidr\'ogeno en n\'ucleos de $_{2}$He$^{4}$.
\begin{eqnarray}
 (a) \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, _{1}\rm{H}^{2}
 + _1\rm{H}^{3} &\longrightarrow &_{2}\mbox{He}^{4} + n  \nonumber \\
 (b)  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, _{1}\mbox{H}^{2} +  _{1}\mbox{H}^{1}
 +n  &\longrightarrow & _{2}\mbox{He}^{4}  \nonumber \\
 (c) \,\,\, _{1}\mbox{H}^{1} + _{1}\mbox{H}^{1}+n+n
 &\longrightarrow & _{2}\mbox{He}^{4}  \nonumber \\
 (d) \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, _{1}\mbox{H}^{2}
 + _{1}\mbox{H}^{2} &\longrightarrow & _{2}\mbox{He}^{4}  \nonumber
\end{eqnarray}
Calcule las energ\'{\i}as liberadas por reacci\'on ($\Delta E$) y
determine cu\'ales son posibles.  Ordene las reacciones en
funci\'on de valores crecientes de $\Delta E$ e indique con qu\'e
propiedad de los n\'ucleos intervinientes est\'a relacionado tal
ordenamiento.


\item Muestre anal{\'\i}ticamente cu\'al es la predicci\'on de la
f\'ormula semiemp\'{\i}rica de masas para el $Z_{estable}$ que da
n\'ucleos estables con A fijo.

\begin{enumerate}
\item Encuentre el/los n\'ucleos estables para el caso $A=92$ y
justifique. Haga un gr\'afico cualitativo de las predicciones para
las masas en funci\'on de $Z$ en un entorno de $Z_{estable}$ para
el caso $A=92$.


\item Calcule la masa, la energ{\'\i}a de ligadura $B$, la
energ{\'\i}a de ligadura por nucle\'on $B/A$ (en ${\rm MeV}$) y
las energ\'\i as de separaci\'on de un neutr\'on y de un prot\'on
 para el $^{92}_{41}{\rm Nb}$ usando las masas experimentales.
Vuelva a calcular la masa usando ahora la f\'ormula
semiemp{\'i}rica, as\'{\i} como
 tambi\'en la energ{\'\i}a liberada en los decaimientos $\beta^{(+,-)} $
 del $^{92}_{41}{\rm Nb}$.
\end{enumerate}

\item i) Explique por qu\'e los n\'ucleos impares tienen un solo is\'obaro
estable y los n\'ucleos pares suelen tener m\'as de uno.\\
ii) Considere los is\'obaros de masa A=145. Grafique las masas en funci\'on del n\'umero de protones $Z$. Utilizando la f\'ormula
semiemp\'{\i} rica halle el is\'obaro  estable y busque en {\it http://www.nndc.bnl.gov} el resultado experimental.

\item Utilizando la p\'agina {\it http://www.nndc.bnl.gov/nudat2 }
encuentre  cu\'al es la energ\'\i a y los n\'umeros cu\'anticos
del quinto estado excitado del $_{92} {\rm U}^{236}$. Encuentre
qu\'e n\'ucleos decaen $\beta^-$ o por captura electr\'onica al
$_{92} {\rm U}^{236}$ y cu\'ales son las energ\'\i as (\cal Q)
liberadas para estos decaimientos.

\item Utilice  la formula semiemp\'\i rica para analizar la fisi\'on
 del  $_{92}$U$^{238}$ en los siguientes casos:

a)  $_{92}$U$^{238}$ $\rightarrow$ $_{46}$Pd$^{119}$+$_{46}$Pd$^{119}$
(fisi\'on sim\'etrica)

b)  $_{92}$U$^{238}$ $\rightarrow$ $_{56}$Ba$^{144}$+$_{36}$Kr$^{94}$
(fisi\'on asim\'etrica)

Despreciando la energ\'{\i}a de ligadura de los electrones, indique si cada
uno de estos procesos es posible energ\'eticamente (justifique). En el caso
en que lo sean, calcule las energ\'{\i}as liberadas y comp\'arelas; en caso
contrario,
compare los `d\'eficits' energ\'eticos. Analizando las contribuciones a las
energ\'{\i}as de ligadura t\'ermino por t\'ermino, indique cu\'ales contribuciones
favorecen la fisi\'on sim\'etrica y cu\'ales la asim\'etrica.


\item  Suponga que el potencial del modelo de capas puede aproximarse a orden cero
por un oscilador arm\'onico tridimensional de frecuencia $\hbar \omega = 8$ MeV. \\
a) Grafique los niveles de energ\'\i a hasta $N=6$ inclusive, identific\'andolos
con sus n\'umeros cu\'anticos.\\
b) En realidad $V(r) \rightarrow 0$ para $r\rightarrow \infty$, y esto introduce
una correcci\'on que a primer orden puede representarse por $\Delta V_1=-0.1\, l^2 \,
$MeV, donde $l$ en el n\'umero cu\'antico orbital del nivel. Grafique los niveles
incluyendo esta perturbaci\'on.\\
c) La interacci\'on spin-\'orbita introduce una correcci\'on adicional a la
energ\'\i a de la forma $\Delta V_2 = -1.6 ({\bf l.s})\,$ MeV.
Exprese $\Delta V_2$ en funci\'on de $l$ para $j=l\pm 1/2 \, \, ({\bf j = l+s})$.
Grafique los niveles incluyendo ambas correcciones y compare con el resultado experimental.

\item  Demuestre que dos fermiones id\'enticos en una misma \'orbita $j$,
s\'olo se pueden acoplar a impulso total $J$ par. Use la antisimetr\'\i a
de la funci\'on de onda, o sea $\phi (j^2 m m') = - \phi (j^2 m' m)$, y la
propiedad de
los Clebsch-Gordan $<j_1 m_1 j_2 m_2 | J M >
= (-1)^{j_1 +j_2 - J} <j_1  m_2 j_2 m_1 | J M > $.
Y si no est\'an en la misma \'orbita ?

\item  Teniendo en cuenta el modelo de part\'\i cula independiente, indique los valores de $J^\pi$ que espera hallar en el espectro de bajas energ\'\i as de cada uno de los correspondientes n\'ucleos: $^{55}_{27}$Co, $^{56}_{27}$Co, $^{56}_{28}$Ni, $^{57}_{28}$Ni.

\item Considere el problema de la polarizaci\'on del n\'ucleo del $^{14}$N en el contexto del modelo de capas:\\
i) Explique porqu\'e se lo puede considerar como un core de spin 0 formado por 6 protones y  6 neutrones mas un prot\'on y un neutr\'on adicionales ambos en estado P$_{1/2}$
ii) A partir de la descomposici\'on de la funci\'on de onda de los estados  P$_{1/2}$ en la base desacoplada, obtenga la contribuci\'on de ambos nucleones
al momento magn\'etico y compare con el resultado experimental (0.404 magnetones nucleares).



\end{enumerate}


%\pagebreak

\vspace*{5mm} \noindent{{\bf Datos nucleares}}

{\it http://www.nndc.bnl.gov}



\vspace*{5mm} \noindent{{\bf N\'umeros para agendar}}

1 uma  = 931.5 MeV \, \, $\hbar  c $= 197.3 MeV fm  \,\,\,\,\,
$\alpha = {{e^2}\over { 4\pi \hbar c}} = {{1}\over {137.0}}$

$M_p c^2 $= 938.3 MeV  \,\,\,\,\, $M_n c^2 $= 939.6 MeV
\,\,\,\,\, $M_e c^2 $= 511  keV   \,\,\,\, \\

\noindent{{\bf F\'ormula semiemp\'{\i}rica para la energ{\'\i}a de
ligadura}}


\begin{eqnarray}
B(A,Z) &=& a_v A - a_s A^{2/3} - a_c Z^2 A^{-1/3} - a_{a} \frac{(2
Z-A)^2}{A} + \delta A^{-1/2} \nonumber
\end{eqnarray}
con
\begin{eqnarray}
\delta &=& \left\{ \begin{array}{cl}
\Delta & {\rm par-par} \\
0 & {\rm par-impar } \\
-\Delta & {\rm impar-impar}
\end{array} \right. \nonumber
\end{eqnarray}
\\
$a_v = 15.56 \ {\rm MeV} , a_s = 17.23 \ {\rm MeV} , a_c = 0.697 \
{\rm MeV}, a_{a} = 23.285 \ {\rm MeV} $ y $ \Delta = 12.0 \ {\rm
MeV}$.





\end{document}
