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\begin{document}
\noindent{\large \bf Estructura de la Materia 4 (2006-1c) \\
Pr\'actica 3: Ecuaci\'on de Dirac.}\\

\begin{enumerate}



\item {\bf a)} Verifique que las matrices $\vec{\alpha_i}$ y
$\beta$ dadas por
\[ \vec{\alpha}= \left( \begin{array}{cc}
 0&\vec{\sigma}\\
  \vec{\sigma}&0\\
 \end{array} \right) \,\,\,\,\,\,\, \beta= \left( \begin{array}{cc}
 I&0\\
 0&-I\\
 \end{array} \right) \]
donde $\vec{\sigma}$ son las matrices de Pauli e $I$ es la
identidad en dos dimensiones, satisfacen los requerimientos de la
ecuaci\'on de Dirac; es decir, son herm\'{\i}ticas, de traza nula
y autovalores $\pm 1$, y adem\'as satisfacen el \'algebra de
Dirac:
\begin{eqnarray}
\{ \alpha_i, \alpha_j \} \equiv \alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i & = & 2 \delta _{ij}  \,\,\,\,\,\,\,  \alpha_i^2 =1  \nonumber \\
\{ \alpha_i, \beta \} \equiv \,\,\,\,\, \alpha_i \beta + \beta
\alpha_i &=& 0  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\beta^2 =1  \nonumber
\end{eqnarray}
 {\bf b)} Muestre que $\beta '\equiv \alpha_2$, $\alpha_1' \equiv -\alpha_1$,
$\alpha_2' \equiv \beta$ y $\alpha_3' \equiv -\alpha_3$,
satisfacen el \'algebra de Dirac. \\
{\bf c)} Operando a partir de la
ecuaci\'on de Dirac, obtenga la ecuaci\'on de continuidad
\[ \frac{\partial \rho_{Dirac}}{\partial t}+ \vec{\nabla}\cdot \vec{J}_{Dirac}=0 \]
mostrando que $ \rho_{Dirac}=\Psi ^{\dagger} \Psi$ y
$\vec{J}_{Dirac}=\,\Psi ^{\dagger} \vec{\alpha}\Psi$. \\
{\bf d)}
Muestre que definiendo $\gamma^0\equiv \beta$ y
$\gamma^i\equiv \beta \alpha^i$ se verifica
\begin{eqnarray}
\{ \gamma^{\mu}, \gamma^{\nu} \} \equiv \gamma^{\mu} \gamma^{\nu}
+\gamma^{\nu} \gamma^{\mu}   = 2\,g^{\mu\nu}   \nonumber
\end{eqnarray}

\item Demuestre que el Hamiltoniano de Dirac no conmuta con el
operador de impulso angular orbital $\vec{L}$, pero si lo hace con
el de impulso angular total $\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$, con
$\vec{S}$ dado por
\[ \vec{S}\equiv \frac{\hbar}{2}\vec{\Sigma} \]
con
\[ \vec{\Sigma}= \left( \begin{array}{cc}
 \vec{\sigma}&0\\
  0&\vec{\sigma}\\
 \end{array} \right) \]
Muestre que el operador $\vec{S}$ definido de esa manera satisface
el \'algebra de impulsos angulares, y adem\'as tiene autovalores
$\pm \frac{\hbar}{2}$.

\item La ecuaci\'on de Dirac para una part\'{\i}cula libre tiene
dos soluciones linealmente independientes asociadas al mismo valor
de energ\'{\i}a-impulso ($\vec{p}$ y $E$):
\[ \Psi (x,t)= u_i(\vec{p})\,\,\, e^{\frac{i}{\hbar}\,\vec{p} \cdot \vec{x} -
\frac{i}{\hbar} E\,t} \,\,\,\,\,\,\, (i=1,2) \] con
\[ u_i(\vec{p})= N\,\left( \begin{array}{c}
 \chi_i\\
 \frac{c\, \vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{E+mc^2} \, \chi_i \\
 \end{array} \right) \,\,\,\,\,\,\, (i=1,2) \]
en el caso $E=\sqrt{p^2 c^2+m^2 c^4}>0$, y
\[ \Psi (x,t)= u_i(\vec{p})\,\,\, e^{\frac{i}{\hbar}\,\vec{p} \cdot \vec{x} +
\frac{i}{\hbar} |E|\,t} \,\,\,\,\,\,\, (i=3,4) \] con
 \[ u_i(\vec{p})= N\,\left( \begin{array}{c}
 \frac{-c\, \vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{|E|+mc^2} \, \chi_i \\
\chi_i \end{array} \right) \,\,\,\,\,\,\, (i=3,4) \] en el caso
$E=\sqrt{p^2 c^2+m^2 c^4}<0$, donde $N$ es una constante de
normalizaci\'on, y
 \[ \chi_1=\chi_3= \left( \begin{array}{c}
 1\\
 0\\ \end{array} \right) \,\,\,\,\,\,\,\,
\chi_2=\chi_4= \left( \begin{array}{c}
 0\\
 1\\ \end{array} \right)
\]
 i) Verifique expl\'{\i}citamente que son soluciones.\\
 ii) Verifique que para $\vec{p}=0$ se recuperan las soluciones en reposo.\\
iii) Determine el valor de $N$ que define la normalizaci\'on
covariante
$ u^{\dagger}_{i}u_{j}= \delta_{ij}|E|/mc^2$. Discuta el uso de esta normalizaci\'on que involucra a la energ\'{\i}a en lugar de $ u^{\dagger}_{i}u_{j}= \delta_{ij}$ \\
iv) Muestre que el operador de helicidad $ \frac{\hbar}{2} \vec{\Sigma}\cdot \hat{P}$ (con $\hat{P}\equiv \vec{P}/|\vec{P}|$), proyecci\'on del spin en la direcci\'on de movimiento, conmuta con el Hamiltoniano de Dirac y con el operador de impulso $\vec{P}$, de forma tal que se lo puede agregar a \'estos para formar un conjunto completo de observables que conmutan.\\
v) Verifique que para $\vec{p}=(0,0,p)$, los espinores
$u_1(\vec{p})$ y $u_2(\vec{p})$ son autoestados del operador de
helicidad con autovalores $\pm \frac{\hbar}{2}$


 \item {\bf a)}Muestre que $\gamma^5 \equiv i \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ es herm\'{\i}tico, de cuadrado unitario, y que anticonmuta con las cuatro matrices $\gamma$ de Dirac. $\gamma^5$ es conocido como el operador de quiralidad.\\
{\bf b)} Demuestre que en el l\'{\i}mite altamente relativista, la
acci\'on de $\gamma^5$ sobre los espinores $u_i(\vec{p})$ es la
misma que la del operador de helicidad, es decir $\gamma^5$ {\em
coincide} con el operador de helicidad
\[ \gamma^5 u_i(\vec{p})= (\Sigma \cdot \hat{p}) u_i(\vec{p})   \ \ \ \ \ \ (i=1,2) \]
{\bf c)} Verifique que para las antipart\'{\i}culas quiralidad y
helicidad son opuestas
\[ \gamma^5 u_i(\vec{p})= -(\Sigma \cdot \hat{p}) u_i(\vec{p})  \ \ \ \ \ \ (i=3,4) \]

\item Vuelva a obtener las soluciones de la ecuaci\'on de Dirac para una
part\'{\i}cula libre de energ\'\i a $E$ e impulso $\vec{p}$ a partir de
las soluciones en reposo haciendo una transformaci\'on de Lorentz.


\item Considere una transformaci\'on de Lorentz $x^\mu \rightarrow
x^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu$ que transforma al espinor
$\Psi$ seg\'un $\Psi \rightarrow \Psi' = S_\Lambda \Psi$ donde
$S_\Lambda^{-1} \gamma^\nu S_\Lambda = \Lambda^\nu_{\ \mu}
\gamma^\mu$ . Sabiendo que para una transformaci\'on infinitesimal
$\Lambda^\nu_\mu = \delta^\nu_\mu + \varepsilon^\nu_\mu$ para el
operador S se obtiene $S= 1 + \frac{1}{8} [\gamma_\mu,\gamma_\nu]
\varepsilon^{\mu \nu}$  muestre que
\begin{enumerate}
\item $S^\dagger \gamma^0 = \gamma^0 S^{-1}$ \item $\bar \Psi' =
\bar \Psi S^{-1}$ con $\bar \Psi = \Psi^\dagger \gamma^0$ . \item
$\bar \Psi \Psi $ es invariante Lorentz \item $j^\mu = \bar \Psi
\gamma^\mu \Psi $ es un cuadrivector \item$j^5 = \bar \Psi
\gamma^5 \Psi $ es un seudoescalar dado que $[S,\gamma^5] = 0$
para rotaciones y boosts y $S_P=\gamma^0$ es soluci\'on de
$S_P^{-1} \gamma^\nu S_P= \Lambda^\nu_{\ \mu} \gamma^\mu$ cuando
$\Lambda$ corresponde a una inversi\'on de coordenadas ($t
\rightarrow t , x \rightarrow -x$).
\end{enumerate}


\item  A partir de las soluciones para part\'{\i}cula libre de la
ecuaci\'on de Dirac con $E>0$ ,
verifique que en l\'{\i}mite no relativista ($E\approx mc^2$) las
componentes inferiores (o {\em d\'ebiles}) del espinor de Dirac
son de orden $v/c$ respecto de las superiores (o {\em fuertes}), y
que estas \'ultimas tienen la forma de una soluci\'on de
Schr\"odinger para part\'{\i}cula libre multiplicadas por un
espinor de Pauli de dos componentes.

\item A partir de la sustituci\'on $\vec{p}\longrightarrow
\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A}$ y $E\longrightarrow
\epsilon_{NR}+mc^2-q\Phi$ en la ecuaci\'on de Dirac, muestre que
en el l\'{\i}mite no relativista $\epsilon_{NR}-q\Phi << mc^2$,
las componentes superiores de las soluciones con $E>0$ satisfacen
la ecuaci\'on de Schr\"odinger-Pauli
\[ \left( \frac{1}{2m} \left( \vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A}\right)^2 + q\Phi -
\frac{q\hbar}{2mc}\vec{\sigma}\cdot \vec{B}\right) \Psi=
\epsilon_{NR} \Psi \]

\item Analice el problema de la transmisi\'on y reflexi\'on de una
part\'{\i}cula de Dirac de energ\'{\i}a $E$ ante un escal\'on de
potencial $V_{0}$. Muestre que el coeficiente de reflexi\'on puede
ser mayor que la unidad en el caso que $V_0> E+mc^2$, y que en tal
situaci\'on el coeficiente de transmisi\'on es negativo. C\'omo se
interpreta \'esto?








\end{enumerate}
\end{document}
