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\begin{document}
\noindent{\large \bf Estructura de la Materia 4 (2006-1c) \\
Pr\'actica 4: Electrodin\'amica Cu\'antica.}\\


\begin{enumerate}

\item Verifique que a partir del lagrangiano
\[ {\cal L}=-\frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu} \]
con $F^{\mu \nu} \equiv \partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}$, se obtienen las ecuaciones de Maxwell en el vac\'{\i}o mientras que con
\[ {\cal L}=-\frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu} + i \overline{\Psi} (\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\Psi + e \overline{\Psi}\gamma^{\mu}\Psi A_{\mu} \]
se obtienen las ecuaciones acopladas de electrodin\'amica cu\'antica (QED).
\item Muestre que el lagrangiano de QED:\\
{\bf a)} es invariante Lorentz;\\
{\bf b)} es invariante ante una transformaci\'on de paridad.

\item Dibuje los diagramas de Feynman de orden m\'as bajo para los siguientes procesos:\\
{\bf a)} aniquilaci\'on de pares: $e^-e^+\rightarrow\mu^+\mu^-$\\
{\bf b)} scattering $e^-\mu^+$ con bremstrahlung $e^-\mu^+\rightarrow e^-\mu^+ \gamma$ \\
{\bf c)} scattering fot\'on-fot\'on $\gamma \gamma \rightarrow e^-e^+$\\
Analice todos los posibles estados de helicidad de los fermiones en los procesos anteriores.

\item En l\'{\i}mite de energ\'{\i}as altamente relativistas,\\
{\bf a)} Muestre que ${\cal P}_{\pm}\equiv (1 \pm \gamma^5)/2$ son proyectores sobre subespacios de estados con helicidad definida.\\
{\bf b)} Muestre que  $u_R\equiv {\cal P}_{+}u(\vec{p})$ representa a una part\'{\i}cula de helicidad positiva. Qu\'e representa $v_L\equiv {\cal P}_{+}
v(\vec{p})$?\\
{\bf c)} Muestre que $\overline{u}_L \gamma^{\mu} u_R=\overline{u}_L \gamma^{\mu} v_L=\overline{v}_L \gamma^{\mu} u_L=\overline{v}_L \gamma^{\mu} v_R=0$, indicando las helicidades correspondientes.\\
{\bf d)} Indique las combinaciones de helicidad permitidas para el proceso
$e^-e^+\rightarrow \mu^+\mu^-$\\
{\bf e)} Muestre que c) sigue valiendo en el caso de acoplamiento axiales
$\overline{\Psi}\gamma^{\mu}\gamma^5\Psi$, y en general $\overline{u}_L (a\gamma^{\mu}\,+b\gamma^{\mu}\gamma^5) u_R=0$, etc.  Estos son los acoplamientos de las fuerzas d\'ebiles.
\pagebreak


\item  La secci\'on eficaz diferencial en el sistema c.m. para el proceso
$e^- e^+ \rightarrow \mu^- \mu^+$ es
$\mbox{d}\sigma/\mbox{d}\Omega=(\alpha^2/16E^2)(1+\cos^2\theta)$, donde $E$
es la energ\'{\i}a de los haces de electrones y positrones que colisionan, y
$\theta$ es el \'angulo formado entre el $\mu^-$ saliente y el $e^-$ entrante. \\
{\bf a)} Dibuje el diagrama de Feynman de primer orden y muestre el origen del
factor $\alpha^2$.\\
{\bf b)} Utilizando conservacion de la helicidad, muestre que el factor
$1+\cos^2\theta$, es consecuencia directa del hecho que el fot\'on intermediario
tiene esp\'{\i}n 1.\\
{\bf c)} ?`Cu\'al ser\'{\i}a la dependencia angular si el fot\'on fuera una
part\'{\i}cula de esp\'{\i}n 2?


\end{enumerate}
\end{document}
