\documentstyle[12pt]{article}
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\begin{document}
\noindent{\large \bf Estructura de la Materia 4 (2006-1c) \\
Pr\'actica 7: Invariancia de Gauge.}\\

\begin{enumerate}


\item {\bf a)} Muestre que el lagrangiano de Klein-Gordon libre
${\cal L}_{KG}$ es invariante ante transformaciones  globales del
grupo $U(1)$.
\[ {\cal L}_{KG}= \partial_{\mu}\Phi^* \partial^{\mu} \Phi -m^2 \Phi^* \Phi \]
{\bf b)} Encuentre los acoplamientos de `QED escalar' reemplazando en  ${\cal L}_{KG}$ la derivada $\partial_{\mu}$ por la derivada covariante $D_{\mu}$ de modo que  ${\cal L}_{KG}$ sea invariante de gauge local.\\
{\bf c)} Dibuje los diagramas de Feynman correspondientes a los v\'ertices de interacci\'on obtenidos

\item Verifique que el lagrangiano de interacci\'on de una part\'{\i}cula de
Dirac con el campo electromagn\'etico
\[ {\cal L}_{QED}=\overline{\psi}(x)(i\partial \!\!\!/ -m)\psi (x)+
q\overline{\psi}(x)\gamma^{\mu}\psi(x)A_{\mu}-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\]
es invariante ante una transformaci\'on de medida local
\begin{eqnarray}
\left \{ \begin{array}{c}
 \psi(x) \rightarrow e^{i\,q\alpha(x)}\psi(x) \\
         A_{\mu} \rightarrow A_{\mu} + \partial_{\mu} \alpha(x)
         \end{array}
         \right. \nonumber
\end{eqnarray}

\item Considere el siguiente lagrangiano
\[ {\cal L}_{G}= \left(\partial_{\mu}\Phi\right)^{\dagger} \left(\partial^{\mu}\Phi\right)-\mu^2 \Phi^{\dagger}\Phi-\lambda(\Phi^{\dagger}\Phi)^2 \]
donde $\Phi$ es un doblete de SU(2) de campos escalares complejos
\begin{eqnarray}
\Phi= \left( \begin{array}{c} \phi_{\alpha} \\ \phi_{\beta} \end{array}\right)
    =\sqrt{\frac{1}{2}} \left( \begin{array}{c} \phi_{1}+i\phi_{2}  \\  \phi_{3}+i\phi_{4}\end{array}\right) \nonumber
\end{eqnarray}
{\bf a)} Muestre que ${\cal L}_{G}$ is invariante ante transformaciones de fase globales del grupo $SU(2)$
 \[ \Phi(x) \longrightarrow e^{i\,\vec{\alpha} \cdot\frac{\vec{\tau}}{2} }\Phi(x) \]
{\bf b)} Muestre que el lagrangiano ${\cal L}_{L}$
\[ {\cal L}_{L}=\left(\partial_{\mu}\Phi +ig \frac{\vec{\tau}}{2}\cdot \vec{W}_{\mu}\Phi \right)^{\dagger} \left(\partial^{\mu}\Phi+ig \frac{\vec{\tau}}{2}\cdot \vec{W}_{\mu}\Phi \right)-\mu^2 \Phi^{\dagger}\Phi-\lambda(\Phi^{\dagger}\Phi)^2 -\frac{1}{4} \vec{W}_{\mu \nu}\cdot \vec{W}^{\mu \nu}\]
que resulta de la sustituci\'on de $\partial_{\mu}$ por la derivada
covariante $D_{\mu}$ en ${\cal L}_{L}$ con
\[ D_{\mu}=\partial_{\mu}+i g \frac{\vec{\tau}}{2}\cdot \vec{W}_{\mu} \]
donde $\vec{W}_{\mu}(x)$ es un campo de gauge de tres componentes, y del agregado
de un t\'ermino de `gauge puro' en funcion del tensor
\[
\vec{W}_{\mu \nu} = \partial_{\mu}\vec{W}_{\nu}-\partial_{\nu}\vec{W}_{\mu}-g \vec{W}_{\mu} \times \vec{W}_{\nu}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)
\]
es invariante ante transformaciones infinitesimales
\begin{eqnarray}
\left \{ \begin{array}{l}
 \Phi(x) \rightarrow (1+i\,\vec{\alpha}\cdot \vec{\frac{\tau}{2}}) \,\Phi(x) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\
         \vec{W}_{\mu} \rightarrow \vec{W}_{\mu} - \frac{1}{g} \partial_{\mu} \vec{\alpha}-\vec{\alpha}\times\vec{W}_{\mu} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
         \end{array}
         \right. \nonumber
\end{eqnarray}
{\bf c)} Explique porqu\'e los \'ultimos t\'erminos de las ecuaciones (1) y (3)
est\'an vinculados al caracter no abeliano de SU(2).

\end{enumerate}
\end{document}
