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\begin{document}
\noindent{\large \bf Estructura de la Materia 4 (2006-1c) \\
Pr\'actica 9: Interacci\'on electrod\'ebil y mecanismo de Higgs}

\begin{enumerate}

\item De acuerdo con el modelo electrod\'ebil est\'andar, la interacci\'on con la corriente neutra para el acoplamiento $Z\rightarrow \overline{f} f$ est\'a descripta en el lagrangiano dada por un t\'ermino proporcional a
\begin{eqnarray}
\overline{\psi} \gamma^{\mu} \left\{ P_- T^3 - \sin^2 \theta_W Q \right\} \psi Z_{\mu}\nonumber
\end{eqnarray}
en donde $\theta_W$ es el \'angulo de Weinberg, $\psi$ es el campo asociado al fermi\'on $f$, $T^3$ es la proyecci\'on del isosp\' in d\'ebil y $Q$ es el operador de carga. Muestre que el correspondiente factor de v\'ertice es proporcional a
\begin{eqnarray}
c_V - c_A \gamma^5 \nonumber
\end{eqnarray}
en donde $c_V$ y $c_A$ son las constantes de acoplamiento vectorial y axial, respectivamente. Encuentre la expresi\'on de $c_A/c_V$ en funci\'on del \'angulo de Weinberg. Verifique que, independientemente del valor de $\theta_W$, en las interacciones d\'ebiles s\'olo participa $\nu_L$ (y $\overline{\nu}_R$). Muestre que para los electrones y los muones el acoplamiento es, esencialmente, axial (considere $\theta_Z \approx \pi/6$).

\item Demuestre que en t\'erminos del doblete $\overline{\chi}_L={\nu \choose e^-}_L$, las corrientes cargadas d\'ebiles $J_{\mu}^+={\overline u}_{\nu}\gamma_{\mu}P_-u_e$ y $J_{\mu}^-=\left(J_{\mu}^+\right)^{\dag}$ quedan escritas de la siguiente forma:
\begin{eqnarray}
J_{\mu}^+={\overline \chi}_{L}\gamma_{\mu}\tau_+ \chi_L \nonumber \\
J_{\mu}^-={\overline \chi}_{L}\gamma_{\mu}\tau_- \chi_L \nonumber
\end{eqnarray}
en donde $\tau_{\pm}=1/2(\tau_1 \pm i \tau_2)$. Estas expresiones muestran que $J_{\mu}^+$ y $J_{\mu}^-$ junto con la corriente neutra dada por
\begin{eqnarray}
J_{\mu}^3={\overline \chi}_{L}\gamma_{\mu}\tau_3 \chi_L \nonumber 
\end{eqnarray}
conforman un triplete de isosp\'{\i}n. Puede identificarse a $J^3_{\mu}$ con la corriente neutra d\'ebil? Justifique.

\item Muestre que la corriente neutra electromagn\'etica:
\begin{eqnarray}
j^{em}_{\mu}=\frac{1}{e} j_{\mu} = \overline \psi \gamma_{\mu} Q \psi \nonumber
\end{eqnarray}
escrita en t\'erminos de la corriente neutra de isosp\' in, resulta
\begin{eqnarray}
j_{\mu}^{em} = J_{\mu}^3 + \frac{1}{2} j_{\mu}^Y \nonumber
\end{eqnarray}
en donde $j_{\mu}^Y$ es la corriente de hipercarga d\'ebil, dada por
\begin{eqnarray}
j_{\mu}^Y=  \overline \psi \gamma_{\mu} Y \psi \nonumber
\end{eqnarray}

Escriba expl\'{\i}citamente la expresi\'on de $j_{\mu}^Y$ para el multiplete electr\'onico y  muestre que la hipercarga del doblete de isosp\'{\i}n es $Y=-1$ y la del singlete $e_R$ es $Y=-2$.

\item A partir de la sustituci\'on de los campos vectoriales $W_{\mu}^{3}$ y
$B_{\mu}$ por los estados f\' isicos:
\begin{eqnarray}
A_{\mu} = W^3_{\mu} \sin \theta_W+B_{\mu} \cos \theta_W \nonumber
\end{eqnarray}
y
\begin{eqnarray}
Z_{\mu} =  W^3_{\mu} \cos \theta_W-B_{\mu} \sin \theta_W \nonumber
\end{eqnarray}
en los t\'erminos de interacci\'on asociados a la simetr\'{\i}as SU(2) de isosp\'{\i}n d\'ebil y U(1) de hipercarga:
\[
{\cal L}_{int}^{SU(2)}=- \frac{g}{2} \overline{\chi}_L \gamma^{\mu} \overline{\tau} \cdot {\overline{W}}_{\mu} \chi_L
\]
y
\[
{\cal L}_{int}^{U(1)}=-\frac{g'}{2} \overline{\psi} \gamma^{\mu} Y B_{\mu} \psi
\]
muestre que el acople entre el campo $A_{\mu}$ y la corriente $j^{\mu}=e \overline{\psi} \gamma^{\mu} Q \psi$
es el usual de QED siempre que las constantes de acoplamiento est\'en relacionadas con la carga el\'ectrica seg\'un
\[
e= g \sin \theta_W = g' \cos \theta_W
\]

\item Muestre que en el marco del modelo est\'andar para las interacciones electrod\'ebiles, el acoplamiento de $Z$ con la corriente de electrones es de la forma
 \[
 \frac{2e}{\sin 2 \theta_W} \left\{ \left(\frac{1}{2}-\sin^2 \theta_W\right)  \overline{e}_L \gamma^{\mu} e_L - \left(\sin^2 \theta_W\right)\overline{e}_R \gamma^{\mu} e_R \right\} \,Z_{\mu}
 \]
mientras que el t\'ermino de acoplamiento con los neutrinos es
\[
\frac{e}{\sin 2 \theta_W}  \overline{\nu}_L \gamma^{\mu} \nu_{L} \,Z_{\mu}
\]
Compare el resultado con el Ejercicio 1.

\item Dibuje los v\'ertices asociados a los t\'erminos de
acoplamiento entre las componentes left de los electrones, los
neutrinos y los bosones $W^+$ y $W^-$. Analice la conservaci\'on
de la carga el\'ectrica y de la helicidad en cada v\'ertice y
deduzca a partir de ello cu\'al es la carga el\'ectrica y el spin de los
bosones.

\item Muestre que a trav\'es del mecanismo de Higgs los tres bosones
de gauge en el caso de un doblete de campos
escalares complejos $\Phi(x)$ in\-va\-rian\-te ante transformaciones
locales de SU(2) adquieren masa.

\item Muestre que el mecanismo de
Higgs aplicado al modelo de Weinberg-Salam predice masas para los
bosones $W^{\pm}$ y $Z$ relacionadas entre si de manera tal que
\[ \rho \equiv \frac{M^2_W}{M^2_Z\,\cos^2\theta_W}=1 \]

\item Verifique que introduciendo un t\'ermino de interacci\'on
entre electrones, neutrinos y el doblete de campos  escalares
complejos $\Phi(x)$ seg\'un
\[- g_e \left \{ \left(\overline{\nu}_e,\overline{e} \right)_L \left( \begin{array}{c} \phi^+\\ \phi^0 \end{array} \right) e_R + \overline{e}_R \left(
\phi^-,\overline{\phi^0} \right) \left( \begin{array}{c} \nu_e \\
e \end{array} \right)_L \right\}\] el mecanismo de Higgs genera un
t\'ermino masa para los electrones y otro de interacci\'on entre
los electrones y el campo escalar $h$
\begin{eqnarray} {\cal L}&=&-\frac{g_e\,v}{\sqrt{2}}\left(\overline{e}_Le_R+\overline{e}_Re_L\right)-\frac{g_e}{\sqrt{2}}\left(\overline{e}_Le_R+\overline{e}_Re_L\right)\,h \nonumber \\
&=& -m_e\, \overline{e}e-\frac{m_e}{v}\overline{e}e\,h \nonumber
\end{eqnarray}

\end{enumerate}
\end{document}
