Motivación

La resolución de ecuaciones diferenciales es uno de los problemas mas importantes de la matemática aplicada y la física matemática. En el curso del tiempo se fueron desarrollando diversos métodos ad hoc de integración para resolver clases especiales de ecuaciones diferenciales que ocurren en la descripción de fenómenos físicos. La teoría de grupos nos permite entender las conexiones entre estos diversos métodos de integración, generalizarlos y desarrollar nuevos métodos.

El matemático Sophus Lie (1849-1899) inició el estudio de grupos de transformaciones continuas que llevan su nombre al descubrir que muchos de estos métodos especiales son casos especiales de un procedimiento general de integración basado en la invariancia de los sistemas de ecuaciones diferenciales ante un grupo continuo de simetrías.

El método de Lie de la transformación infinitesimal proporciona una técnica ampliamente aplicable para hallar soluciones en forma analítica a ecuaciones diferenciales ordinarias. Por ejemplo, los métodos conocidos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden o lineales se pueden caracterizar por medio de simetrías. Usando la clasificación de las ecuaciones diferenciales ordinarias proporcionada por la teoría de grupos, Lie pudo identificar todas las ecuaciones que se pueden reducir a una de orden inferior o integrar completamente.

Aplicados a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, el método de Lie proporciona soluciones invariantes y leyes de conservación. Explotando las simetrías de las ecuaciones se pueden obtener nuevas soluciones a partir de las ya conocidas, y las ecuaciones se pueden clasificar en clases de equivalencia.

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