Programa del curso

Simetrías puntuales de ecuaciones diferenciales ordinarias
Definición de una simetría. Invariancia infinitesimal. Conexión entre una ecuación diferencial ordinaria y una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de primer orden.

Búsqueda de las simetrías puntuales de Lie de una ecuación diferencial ordinaria
Procedimiento general. El caso atípico de la ecuación de primer orden. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y orden superior. La ecuación general lineal de orden n.

Como usar las simetrías de Lie puntuales
Ecuaciones diferenciales que poseen una sola simetría: ecuaciones de primer orden y de orden superior.

Propiedades básicas de las álgebras de Lie
Generadores de grupos multiparamétricos y sus álgebras de Lie. Ejemplos de álgebras de Lie. Subgrupos y subálgebras. Representaciones. Invariantes e invariantes diferenciales. Aplicación a ecuaciones de orden n.

Ecuaciones de segundo orden que admiten un grupo G₂
Procedimiento para dar una clasificación de los posible subcasos. Estrategia de integración utilizando la forma normal de los generadores en el espacio de las variables y en el espacio de las primeras integrales. Ejemplos.

Ecuaciones de segundo orden que admiten mas de dos simetrías puntuales de Lie
Grupos que no contienen a G₂. Como resolver ecuaciones que admiten un grupo G₃IX. Ejemplos.

Ecuaciones de orden superior que admiten mas de una simetría puntual de Lie
Estrategia de integración utilizando la forma normal de los generadores en el espacio de las variables y en el espacio de las primeras integrales. Teoremas de Lie. Integración por medio de los invariantes diferenciales. Ejemplos.

Sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Su ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden asociada. La condición de simetría. El problema de Kepler. Sistemas que derivan de un Lagrangiano y leyes de conservación.

Simetrías no puntuales
Limitaciones en el uso de transformaciones puntuales. Simetrías alternativas. Invariancia en forma. Creación y destrucción de simetrías puntuales. Aplicaciones a diversos problemas de Relatividad General.

Paquetes de computación algebraica
Panorama actual de los paquetes implementados en sistemas de computación algebraica para el cálculo de los generadores de simetría de ecuaciones diferenciales. Introducción a Maple. Aplicaciones prácticas.

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