Experimento: midiendo la aceleración de la gravedad con un péndulo

Un poco de historia: reloj de péndulo

From its invention in 1656 by Christiaan Huygens until the 1930s, the pendulum clock was the world's most precise timekeeper.

The introduction of the pendulum, the first harmonic oscillator used in timekeeping, increased the accuracy of clocks enormously, from about 15 minutes per day to 15 seconds per day.

The increased accuracy resulting from these developments caused the minute hand, previously rare, to be added to clock faces beginning around 1690.

Pendulum clocks remained the world standard for accurate timekeeping for 270 years, until the invention of the quartz clock in 1927.

Nota: Extractos de Wikipedia que citaban diversos libros y fuentes.

Isocronismo

Huygens was inspired by investigations of pendulums by Galileo Galilei beginning around 1602. Galileo discovered the key property that makes pendulums useful timekeepers: isochronism, which means that the period of swing of a pendulum is approximately the same for different sized swings.

El periodo del péndulo es aproximadamente igual para diferentes amplitudes de la oscilación.

Clockmakers' realization that only pendulums with small swings are isochronous motivated the invention of the anchor escapement by Robert Hooke around 1658.

Esquema de un péndulo ideal

Variables del diagrama:

• $g$: aceleración de la gravedad
• $m$: masa del péndulo
• $N$: fuerza de tensión de la cuerda
• $\theta$: coordenada angular
• $\Theta$: ángulo máximo
• $A, A^\prime$: puntos de ángulo máximos
• $C$: posición de reposo

Falta en el diagrama:

• $L$: largo del péndulo

Pregunta: ¿cómo determinamos la aceleración de la gravedad a partir de un péndulo?

Analogía con $\pi$: ¿Qué es $\pi$?

Ecuaciones de Newton

Como el péndulo hace un movimiento circular, es más cómodo resolver las ecuaciones de Newton en coordenadas polares.

Opción A: ecuación radial

$$ m a_r = N - mg \cos\theta$$

Como $a_r=0$, entonces $N = mg \cos\theta$.

Si pudiesemos medir la fuerza de tensión $N$ y la masa $m$, podríamos determinar $g$...

Opción B: ecuación tangencial

$$ ma_t = L\ddot{\theta} = -mg \sin\theta $$

Reescribiendo,

$$ \ddot{\theta} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0$$

ya no depende de la masa.

Aproximación de ángulos pequeños

Si la oscilación se da en ángulos pequeños, $\theta << 1$, podemos podemos aproximar $\sin \theta \approx \theta$, y tenemos:

$$ \ddot{\theta} + \frac{g}{L} \theta = 0 $$

que es la ecuación de un oscilador armónico.

La solución del oscilador armónico es:

$$ \theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t) $$

donde la frecuencia angular $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$,

y se asumió que se suelta el péndulo del ángulo $\theta_0$ a $t=0$.

Podemos relacionar la frecuencia angular $\omega$ con el periodo $T$:

$$ \omega = \frac{2\pi}{T} $$

y llegar entonces a:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$

Entonces, midiendo el periodo $T$ y la longitud $L$, podemos determinar la aceleración de la gravedad $g$.

Hipótesis del péndulo

Este experimento supone varias hipótesis sobre el péndulo.

Es importante tener en cuenta cuales son para:

1. hacer un experimento acorde a lo que esperamos
2. poder entender donde tenemos que corregir nuestro experimento o modelo si falla

En el segundo caso, podemos corregir:

• el experimento acercandonos más a las hipótesis, por ejemplo, ángulos más pequeños
• el modelo agregandole complejidad para que represente mejor el experimento, por ejemplo, no haciendo la aproximación de ángulos pequeñós ($\sin \theta \approx \theta$).

Ya mencionamos:

1. ángulos pequeños

Clockmakers' realization that only pendulums with small swings of a few degrees are isochronous motivated the invention of the anchor escapement by Robert Hooke around 1658, which reduced the pendulum's swing to 4–6. [7]

¿Qué otras se les ocurre?

1. masa puntual

1. cuerda ideal: sin masa e inextensible

   El material de la cuerda puede sufrir expansión térmica.

Older quality clocks used wooden pendulum rods to reduce this error, as wood expands less than metal.

The first pendulum to correct for this error was the mercury pendulum invented by Graham in 1721.

Beginning around 1900, some of the highest precision scientific clocks had pendulums made of ultra-low-expansion materials such as the nickel steel alloy Invar or fused silica, which required very little compensation for the effects of temperature.

1. sin resistencia del aire

In the late 19th century and early 20th century, pendulums for precision regulator clocks in astronomical observatories were often operated in a chamber that had been pumped to a low pressure to reduce drag.

¿Cómo podemos testar si son importantes estas hipótesis?

Metodología

¿Cómo medimos el periodo?

Es importante medir correctamente el periodo: cuando vuelve al mismo punto con la misma velocidad (y dirección).

Opción A

Cuando pasa por un extremo o ángulo máximo.

Opción B

Cuando pasa por el centro o ángulo mínimo.

Opción C

Se podría medir medio periodo y multiplicar por 2, con lo que se obtendrían más mediciones en menos tiempo.

¿Es esta opción válida?

Preguntas

Responder encuestas en canal #general de Discord.

1. ¿Es más precisa la opción A o la B?

2. ¿Es válida la opción C?

3. ¿Pueden detectar diferencias de periodo por medir a distintos ángulos?

4. ¿Da consistente con la aceleración de la gravedad esperada? $g = 9.79688239 \, m/s^2$ [1]

5. ¿Pueden contestar todas estas preguntas o les faltan herramientas que veremos en la parte 2?

[1] https://www.ign.gob.ar/NuestrasActividades/Geodesia/Gravimetria/RAGA