¿Qué aprendimos hasta ahora?
Primer clase:
Segunda clase:
Si medimos una vez cno el cronómetro, pensaríamos que el error de la medición es $0.01$s.
Y eso...
Es fundamental repetir el experimento.
Ahí vemos que las distintas mediciones del mismo fenómeno no son compatibles.
Estamos subestimando el error, la incerteza de nuestras mediciones.
Entonces, ¿qué valor reportarían y con qué error?
Para analizar las mediciones, usaremos dos paquetes de Python fundamentales para el análisis de datos:
numpy: para hacer cálculos con conjuntos de númerosmatplotlib: para realizar gráficosimport matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.rc("figure", dpi=100) # Cambia la resolución por defecto de las figuras
Medimos y guardamos las mediciones en un archivo .csv (comma-separated values).
Importamos las mediciones.
# Importar mediciones y guardar en variable datos
file = "/home/maurosilber/Dropbox/UBA/Labo1/metronomo/8_Grillo.txt"
datos = np.loadtxt(file)
Además, voy a simular las (otras) mediciones de Franco, que usó un programa de análisis de audio.
datos_simulados = np.round(np.random.normal(loc=1.09, scale=0.02, size=20), 2)
datos_simulados[0] = 0.8
Veamoslas:
datos_simulados
array([0.8 , 1.08, 1.1 , 1.1 , 1.09, 1.06, 1.09, 1.1 , 1.1 , 1.1 , 1.09,
1.08, 1.07, 1.08, 1.09, 1.08, 1.11, 1.08, 1.1 , 1.1 ])
¿Son razonables estas mediciones?
Es dificil contestar esta pregunta a partir de una lista de números.
Una mejor forma es realizando un gráfico.
Graficar es lo primero que tienen que hacer al analizar un conjunto de datos.
Hay muchos tipos de gráficos. ¿Cuál hacemos?
¿Para qué hacemos un gráfico?
Para entender las mediciones, y convencernos, por ejemplo, de que medimos bien.
Además, para convencer a otres de nuestros resultados.
Entonnces, es importante que el gráfico esté bien hecho y sea claro.
Ejemplo de hoy en Twitter:
¿Qué es lo que está mal?
Otro ejemplo de Twitter:
¿Qué es lo que está mal?
Podemos empezar haciendo un gráfico de linea (o line plot) con plt.plot
Nota: plt.plot es la función más básica, pero está hecha de manera super confusa (para Python).
plt.plot(datos)
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f8c08530a00>]
¿Qué hizo esta función? ¿Qué son los ejes?
En general, esta no es una buena manera de mostrar estos datos.
Este tipo de gráficos da a entender que si se realizara una medición entre dos puntos, esta caería sobre la linea que los une.
Es mejor reservar el gráfico de linea a gráficos de modelos teóricos, en lugar de mediciones experimentales.
Otra opción es hacer un scatter plot, que grafica puntos $(x, y)$, pero sin unirlos con una linea:
x = np.arange(datos.size)
plt.scatter(x, datos)
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x7f8c0813ab50>
Se puede hacer así:
plt.plot(datos, "o", color="r")
plt.plot(datos_simulados, "o")
plt.grid()
plt.xlabel("Numero de medicion")
plt.ylabel("Periodo [s]")
Text(0, 0.5, 'Periodo [s]')
Cuando sabemos cuál es el error de cada punto, se suele hacer un gráfico con barras de error con la función plt.errorbar:
x = np.arange(datos.size)
plt.errorbar(x, datos, yerr=datos.std(), fmt="o")
plt.axhline(datos.mean(), color="C1")
plt.axhline(1.091, color="r")
<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f8c074a0070>
datos.std()
0.05209066615047266
datos.mean() - 1.091
-0.017249999999999988
datos.std() / np.sqrt(datos.size)
0.008236257493546444
Un histograma es una representación de la distribución de los datos.
Nos permite ver la densidad de datos.
# Rotar scatter plot
# Dividir en bins
# Superponer histograma (alpha)
# Doble eje-y
# Nombrar ejes
# Grilla
# Ordenar x (nueva variable)
# Duplicar scatter e hist
x = np.arange(datos.size)
datos_o = np.sort(datos)
plt.scatter(datos, x)
plt.scatter(datos_o, x)
bins = np.linspace(datos.min(), datos.max(), 10)
for b in bins:
plt.axvline(b)
plt.hist([datos, datos_o], bins=bins, alpha=0.5)
(array([[ 3., 3., 7., 1., 5., 5., 3., 10., 3.],
[ 3., 3., 7., 1., 5., 5., 3., 10., 3.]]),
array([0.97 , 0.99111111, 1.01222222, 1.03333333, 1.05444444,
1.07555556, 1.09666667, 1.11777778, 1.13888889, 1.16 ]),
<a list of 2 BarContainer objects>)
Pero no nos permite ver tendencias temporales en los datos.
En general, no nos permite ver relaciones entre dos variables.
x = np.random.normal(loc=10, scale=1, size=50)
x_sort = np.sort(x)
y = np.arange(x.size)
plt.scatter(x, y)
plt.scatter(x_sort, y)
plt.ylabel("Número de medición")
bins = np.linspace(x.min(), x.max(), 10)
for b in bins:
plt.axvline(b)
plt.twinx()
plt.hist([x, x_sort], bins=bins, alpha=0.5)
plt.ylabel("Cantidad de mediciones")
plt.grid()
plt.hist
A diferencia de los gráficos anteriores, hacer un histograma requiere de una elección arbitraria del ancho de los intervalos.
En particular, con pocos datos, es más díficil elegir un número de bins bueno. Generemos más datos para ver como influye variar la cantidad de bins:
np.random.rand(10)
array([0.74341918, 0.28331552, 0.0375008 , 0.05119676, 0.42958812,
0.53398407, 0.09591128, 0.96926714, 0.17224598, 0.11789608])
x = np.random.normal(loc=10, scale=2, size=10_000)
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(6, 2))
bins = {"Un solo bin": 1, "Razonable": np.sqrt(x.size), "Demasiados bins": 10 * x.size}
for ax, (title, num_bins) in zip(axes, bins.items()):
ax.hist(x, bins=int(num_bins), histtype="step")
ax.set(title=title)
fig.tight_layout()
import ipywidgets
def plot_histogram(num_bins=1):
plt.hist(x, bins=num_bins, histtype="step")
N = int(x.size ** 0.5)
ipywidgets.interact(plot_histogram, num_bins=(1, 3 * N, N // 20))
<function __main__.plot_histogram(num_bins=1)>
Hay diversas reglas automáticas de selección de bins, como la regla de Sturges, que mencionamos en la primer clase.
Cada una asume diferentes hipótesis sobre la distribución de los datos.
# Graficar las reglas automáticas
for regla in ('fd', 'doane',
'scott', 'stone', 'rice', 'sturges', 'sqrt'):
plt.hist(x, bins=regla, histtype="step", density=True)
Ninguna es infalible, pero son mejores que quedarse con el valor por defecto bins=10.
Quedarse con el valor por defecto (casi) seguro está mal.
Por defecto, un histograma cuenta cuantas muestras cayeron en cada bin.
Pero, si queremos comparar histogramas con diferente cantidad de datos totales, necesitamos normalizar.
# Grafiquemos histogramas de subconjuntos de las muestras
x[:10]
array([ 9.75450267, 10.46694972, 10.42104784, 11.4902763 , 10.75242662,
10.96425845, 11.50028762, 12.26970252, 8.95496807, 8.58573779])
# Normalizar por frecuencia
bins = np.linspace(x.min(), x.max(), 10)
plt.hist(x[:1000], bins=10, weights=np.full(1000, 1/1000), histtype="step")
plt.hist(x[:10000], bins=100, weights=np.full(10000, 1/10000), histtype="step");
np.full(5, 0.2)
array([0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2])
# Normalizar por area
plt.hist(x[:1000], bins=10, density=True, histtype="step")
plt.hist(x[:10000], bins=100, density=True, histtype="step");
Hay que gráficar (bien):
Line o scatter plots nos permiten ver tendencias, o relaciones entre variables.
Histogramas nos permiten ver distribuciones de una variable.
Si realizamos muchos experimentos, no podemos mostrar un histograma para cada uno.
Para 2 o 3 experimentos sí, pero para 100 no.
¿Podemos resumir aún más los datos?
En particular, si tuviesen que resumir el siguiente histograma de manera textual, ¿cómo la describirian?
plt.hist(np.random.normal(loc=10, scale=1, size=10_000), bins="sqrt", histtype="step");
plt.hist(np.random.normal(loc=10, scale=2, size=10_000), bins="sqrt", histtype="step");
