Clase 4

Indice

  • Estimación incertezas
  • Propagación de incertezas
  • Cifras significativas
  • Estadística
    • Promedio y su error
    • Desviación estándar
    • Gaussiana
  • Péndulo

Estimación de incertezas

Instrumento y/o proceso nuevo \rightarrow Calibración


Precisión vs exactitud

Aleatorio vs repetible

Propagación de errores

Medimos:

  • x \pm \Delta x
  • y \pm \Delta y.

Calculamos z = f(x, y).

¿Cómo estimamos \Delta z?

Aproximación lineal de propagación de errores: \Bigg( \Delta z \Bigg)^2 = \Bigg( \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x \Bigg)^2 + \Bigg( \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y \Bigg)^2

Suma o resta

z = x + y \Big(\Delta z\Big)^2 = \Big(\Delta x\Big)^2 + \Big(\Delta y\Big)^2

Producto o división

z = x \cdot y \left(\frac{\Delta z}{z}\right)^2 = \left(\frac{\Delta x}{x}\right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{y}\right)^2

Cifras significativas

Para reportar, recortamos las cifras no significativas:

\begin{alignat*}{3} x &= 123\;&&456 \text{ m} \\ \Delta x &= &&789 \text{ m} \end{alignat*}

Notación científica

\begin{alignat*}{3} x &= 12&&3.456 \cdot 10^3 \text{ m} \\ \Delta x &= &&0.789 \cdot 10^3 \text{ m} \end{alignat*}

Recortamos el error

\begin{alignat*}{3} x &= 12&&3.5\phantom{45} \cdot 10^3 \text{ m} \\ \Delta x &= &&0.8\phantom{89} \cdot 10^3 \text{ m} \end{alignat*}

Multiplicamos…

\begin{alignat*}{3} x &= 123\;&&500 \text{ m} \\ \Delta x &= &&800 \text{ m} \end{alignat*}

…o cambiamos la unidad

\begin{alignat*}{3} x &= 12&&3.5 \text{ km} \\ \Delta x &= &&0.8 \text{ km} \end{alignat*}

Promedio y desviación estándar

Mediciones con error aleatorio:


✅ Desviación estándar

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2}

donde \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i es el promedio.

La desviación estándar es una medida de la precisión.

❌ Rango \displaystyle := \max_i x_i - \min_i x_i \; no es una buena medida ❌

Mejorando la precisión

Mejorando la precisión: opciones

  1. Mejor instrumento o proceso de medición…

    …si nos limita la precisión del instrumento.

    Ejemplo: cinta métrica \mapsto calibre.


  2. Mediciones consecutivas…

    …si tenemos N “objetos” iguales.

    Ejemplo: N periodos consecutivos.


  3. Promedio…

    …si podemos repetir N veces.

    Ejemplo: N periodos del péndulo empezando en el mismo ángulo.

Si usamos un promedio, necesitamos…


El error del promedio

También conocido como error estadístico o error estándar.

scipy.stats.sem() \rightarrow Standard Error of the Mean


¿Por qué el promedio tiene error? 🤔

Variable aleatoria, sumas y la gaussiana

(El resultado de tirar…)
Un dado es una variable aleatoria:

  • números 1 al 6
  • \frac{1}{6} de probabilidad c/u

Con más mediciones converge a 1/6 cada posible valor.

La media de un dado

Tiro 5 dados y obtengo: \{1, 1, 4, 4, 5\}

El promedio \bar{x} es:

\begin{align*} \bar{x} &= \frac{1 + 1 + 4 + 4 + 5}{5} \\[12px] &= \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 5}{5} \\[12px] &= \tfrac{2}{5} \cdot 1 + \tfrac{2}{5} \cdot 4 + \tfrac{1}{5} \cdot 5 \\[12px] &= f_1 \cdot 1 + f_4 \cdot 4 + f_5 \cdot 5 \end{align*}

f_i: frecuencia del número i

Si reemplazamos por probabilidad (f_i \mapsto p_i),

la media \mu para un dado es:

\begin{align*} \mu &= \sum_i p_i \cdot i \\[15px] &= p_1 \cdot 1 + p_2 \cdot 2 + \ldots + p_6 \cdot 6 \\[15px] &= 3.5 \end{align*}

donde p_i = 1/6.

Media, desviación estándar y rango…

…de un dado

Promedio

\mu = 3.5

Desv. estándar

\sigma \approx 1.7

Rango

5

El promedio se acerca a la media.

El error del promedio depende de la cantidad de mediciones.

Media, desviación estándar y rango…

…de la suma de 2 dados

Un dado

\begin{align*} \mu &= 3.5 \\ \sigma &\approx 1.7 \\ \text{rango} &= 5 \end{align*}

Promedio de 2 dados

\begin{align*} \mu &= 3.5 \\ \sigma &\approx 1.7 / \sqrt{2} \\ \text{rango} &= 5 \end{align*}

Sumar o promediar variables aleatorias cambia la distribución.

¿De donde sale el \sqrt{2}\;? 🤔

Propagación de errores para el promedio

  • x e y son el resultado de tirar un dado.
  • \sigma_x = \sigma_y = \sigma = \approx 1.7
  • \displaystyle z = \frac{x + y}{2}

\begin{alignat*}{3} \sigma_z^2 &= \left(\frac{\partial z}{\partial x} \sigma_x\right)^2 &&+ \left(\frac{\partial z}{\partial y} \sigma_y\right)^2 \\&= \left(\frac{1}{2} \;\;\sigma\;\right)^2 &&+ \left(\frac{1}{2} \;\;\sigma\;\right)^2 \\[12px]&= 2 \left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 &&= \left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)^2 \end{alignat*}

Para el promedio \bar{x} de N dados \displaystyle \rightarrow \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}

Dados, suma de dados y la gaussiana

Si sumamos N=10 dados, ¿cuál es el valor…

  • …mínimo? 10
  • …máximo? 60
  • …promedio? 35

Mido 10 mil veces \rightarrow

  1. Suma de variables aleatorias tiende a una gaussiana
  2. Poco probable medir el mínimo y el máximo

Resumen: error aleatorio

  • precisión \rightarrow desviación estándar \sigma
  • el promedio \bar{x} con su error

\bar{x} ± \frac{\sigma}{\sqrt{N}}

Ojo:

  1. N \to \infty no significa error \to 0.
  2. No siempre quieren el promedio \rightarrow ej.: medición de diámetro

Mejorando la exactitud

Patrón y modelo

Péndulo simple

  • masa puntual
  • cuerda inextensible
  • sin rozamiento con el aire

Ec. tangencial: mL\ddot{\theta} = -mg \sin{\theta}

Reordenando: \ddot{\theta} + \frac{g}{L} \sin{\theta} = 0

No existe péndulo ideal \rightarrow ¿de qué sirve?

Aproximación de ángulos pequeños

Ec. péndulo \ddot{\theta} + \frac{g}{L} \sin{\theta} = 0

Aproximación \theta \ll 0: \ddot{\theta} + \frac{g}{L} \phantom{\sin}\theta = 0 \quad (1)

Solución de ec. (1): \theta(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t + \phi\right)

con periodo T: T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

  1. Siglo XVII-XX \rightarrow ángulo chico \rightarrow periodo constante \rightarrow reloj 🤑📈
  2. Nosotros \rightarrow determinar g(L, T)

Péndulo simple sin aproximar

¿Cúanto difiere por el ángulo?

A mayor precisión \rightarrow menor ángulo

para que valga la aproximación de periodo constante.