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\begin{document}

\lhead[\fancyplain{}]{Física Teórica II}
\rhead[\fancyplain{}]{Práctica 4: Oscilador Armónico}

\begin{center}
{\Large \bf Física Teórica II} \\
{\large \bf Práctica 4: Oscilador Armónico}

\end{center}

\begin{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Considere un oscilador armónico en una dimensión. 
\begin{enumerate}
\item Usando \[
a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x+\frac{ip}{m\omega}\right),\;\; a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle,\]
\[
a^{\dagger}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\frac{ip}{m\omega}\right),\;\; a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle\]
 evalúe $\left\langle m|x|n\right\rangle $, $\left\langle m|p|n\right\rangle $,
$\left\langle m|\left\{ x,p\right\} |n\right\rangle $, $\left\langle m|x^{2}|n\right\rangle $
y $\left\langle m|p^{2}|n\right\rangle $.
\item Compruebe que se cumple el teorema del virial para los valores de
expectación de la energía cinética y potencial tomados con respecto
a un autoestado de la energía. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Utilizando los resultados del ejercicio anterior, muestre que los
autoestados del oscilador armónico unidimensional satisfacen la siguiente
relación, \[
\left\langle \left(\Delta x\right)^{2}\right\rangle \left\langle \left(\Delta p\right)^{2}\right\rangle =\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}\hbar^{2}\]
 ¿Qué ocurre para $n=0$? ¿Qué condición impone esto sobre la función
de onda del estado fundamental?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Usando el oscilador armónico unidimensional como ejemplo, ilustre
la diferencia entre los esquemas de Heisenberg y Schr\"{o}dinger.
Discuta en particular cómo evolucionan en el tiempo en ambos esquemas el valor medio del momento $\left\langle p\right\rangle_t$ y la posición $\left\langle x\right\rangle_t$ en función de los valores medios iniciales$\left\langle p\right\rangle_{t=0}$, $\left\langle x\right\rangle_{t=0}$. 

\begin{enumerate}
\item En el esquema de Heisenberg deberá calcular la evolución de las variables dinámicas $x$ y $p$ y luego evaluar los valores medios con estados arbitrarios.
\item En el esquema de Schr\"{o}dinger deberá considerar la evolución del vector de estado más general luego el calcular los valores medios de los operadores fijos $x$ y $p$. 
\item Muestre, utilizando el resultado anterior, que si un oscilador armónico se encuentra inicialmente en un autoestado de la posición $\ket{x}$ a medida que evoluciona se va cicla entre autoestados de la posición y el momento de la siguiente forma: 
\[\ket{x}\rightarrow\ket{p}\rightarrow\ket{-x}\rightarrow\ket{-p}\rightarrow\ket{x}\]
Encuentren los tiempos para los que esto ocurre.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Usando que $a|0\rangle=0$ y $a^{\dagger}|0\rangle=|1\rangle$, obtenga
las funciones de onda para el estado fundamental $\left\langle x|0\right\rangle $
y el primer estado excitado $\left\langle x|1\right\rangle $ del
oscilador armónico unidimensional.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Considere nuevamente un oscilador armónico en una dimensión. Sin trabajar
con las funciones de onda: 

\begin{enumerate}
\item Construya una combinación lineal de $|0\rangle$ y $|1\rangle$ que
maximice $\left\langle x\right\rangle $. 
\item Considere que el oscilador se encuentra a $t=0$ en el estado hallado
en el punto anterior. Evalúe el valor de expectación $\left\langle x\right\rangle $
y $\left\langle (\Delta x)^{2}\right\rangle $ como funci\'{o}n del tiempo. (Nota: Los resultados de uno de los puntos anteriores son de gran ayuda.)
\end{enumerate}


\item Deduzca y resuelva las ecuaciones de evoluci\'{o}n en la representaci\'{o}n
de Heisenberg para los operadores $a$ y $a^{\dagger}$. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Se definen los estados coherentes de un oscilador arm\'{o}nico en
una dimensi\'{o}n como los autoestados del operador de aniquilaci\'{o}n
$a$ (note que $a$ es no hermitíco) , 
\[
a|\lambda\rangle=\lambda|\lambda\rangle\;\;\mbox{con}\;\lambda\in\mathbb{C}\]


\begin{enumerate}
\item Demuestre que \[
|\lambda\rangle=e^{-|\lambda|^{2}/2}e^{\lambda a^{\dagger}}|0\rangle\]
 es un estado coherente normalizado. 
\item Demuestre que estos estados verifican la relaci\'{o}n de mínima incerteza. 
\item Pruebe que un estado coherente se puede obtener tambi\'{e}n mediante
la aplicaci\'{o}n del operador de traslaci\'{o}n $\exp(-i\hat{p}l/\hbar)$
(siendo $\hat{p}$ el operador de momento y $l$ la distancia desplazada)
al estado fundamental. 
\item Muestre como se compone el operador de desplazamiento generalizado $D(\alpha)=\exp(\alpha a^\dagger - \alpha^* a)$ calculando $D(\alpha)D(\beta)$.
\item Calculen el producto escalar $\left\langle \alpha|\beta\right\rangle$.
\item Halle la evoluci\'{o}n temporal de $|\lambda\rangle$ desarroll\'{a}ndolo
en la base $\left\{ |n\rangle\right\} $ de autoestados de $H$. Muestre
que el estado contin\'{u}a siendo autoestado del operador $a$, pero
que el autovalor $\lambda$ varía en el tiempo. Dibuje en el plano
complejo la evoluci\'{o}n de $\lambda$ y muestre como varían $\left\langle H\right\rangle $
y $\left\langle p\right\rangle $ en el tiempo. 
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5


\item Consideren nuevamente un oscilador armónico en un estado coherente  $\ket{\lambda}$
\begin{enumerate}
\item Si se mide la energía del sistema, ¿qu\'{e} valores pueden obtenerse
y con qu\'{e} probabilidades? Grafiquen la distribución de probabilidades de energía. Verán que corresponde a una distribución de probabilidades de Poisson.
\item Calculen el valor medio de la distribución de Poisson y el de la energía $\left\langle H\right\rangle$.
\item Comparen el resultado del punto anterior $\left\langle H\right\rangle $ con el obtenido si calculan $\left\langle p\right\rangle $
y $\left\langle x\right\rangle $ y usan la relación clásica para la energía $E=p^{2}/2m+m\omega^{2}x^{2}/2$. ¿En qué limite son iguales?


\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item $\clubsuit$ Considere el estado formado por una superposici\'on de dos estados coherentes;
\[\ket{\psi}=\frac1N \left( e^{i\hat{p}L/\hbar}+e^{-i\hat{p}L/\hbar}\right)\ket{0}\]
\begin{enumerate}
\item Calcule cuanto vale la normalización $N$.
\item Calcule y grafique cualitativamente las probabilidades $|\langle x|\psi\rangle|^2$ y $|\langle p|\psi\rangle|^2$.
\item Calcule los valores medios $\left\langle x \right\rangle$ y $\left\langle p \right\rangle$
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item $\clubsuit$ Considere una particula que puede moverse en solo una dirección bajo la acción de un potencial $V(x)$.

A t=0 el sistema se encuentra en el estado $\ket{\psi(0)}=(\ket{0}+\ket{2})/\sqrt{2}$. Donde $\ket{0}$ y $\ket{2}$ son autoestados del Hamiltoniano del oscilador armónico $\hat{H}\ket{n}=\hbar\omega(n+1/2)\ket{n}$.
\begin{enumerate}
\item Si $V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 \hat{x}^2$ tendremos un oscilador armónico y $\hat{H}= \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 \hat{x}^2=\hbar \omega \left( a^{\dagger}a+\frac{1}{2} \right)$. Para este caso:
\begin{enumerate}
\item Calcule la evoluci\'on temporal de este estado y encuentre el tiempo m\'as corto en el cual el sistema llega a un estado ortogonal al inicial.
\item Calcule las dispersiones $\langle (\Delta \hat{x})^2\rangle$ y $\langle (\Delta \hat{p})^2\rangle$ para todo tiempo.
\end{enumerate}

\item Si $V(x)=0$  el sistema evoluciona libremente y $\hat{H}= \frac{\hat{p}^2}{2m}$. Para este caso:
\begin{enumerate}
\item Calcule e integre las ecuaciones de movimiento para los operadores $\hat{x}$ y $\hat{p}$.
\item Calcule las dispersiones $\langle (\Delta \hat{x})^2\rangle$ y $\langle (\Delta \hat{p})^2\rangle$ para todo tiempo, a partir del mismo estado inicial.
\end{enumerate}

\end{enumerate}






\end{enumerate}
\end{document}

