\documentclass[a4,textcomp,12pt]{article}

\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}%para las tildes
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amsmath, amsfonts,amssymb}

 \textwidth=170mm 
 \textheight=245mm
 \oddsidemargin=-0.5cm %0 equivale a est a 1in o 2.54cm del borde
 \evensidemargin=0cm
 \topmargin=-1.5cm

\pagestyle{fancyplain}
\long\def\symbolfootnote[#1]#2{\begingroup%
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}\footnote[#1]{#2}\endgroup}


\begin{document}

\lhead[\fancyplain{}]{Física Teórica II}
\rhead[\fancyplain{}]{Práctica 7: Simetrías}

\begin{center}
{\Large \bf Física Teórica II} \\
{\large \bf Práctica 7: Simetrías}


\end{center}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcule los tres niveles de energía mas bajos, junto con sus degeneraciones,
para los siguientes sistemas (suponga que se trata de partículas distinguibles
de igual masa): 

\begin{enumerate}
\item Tres partículas no interactuantes de espín $1/2$ en una caja de longitud
$L$.
\item Cuatro partículas no interactuantes de espín $1/2$ en una caja de
longitud $L$. 
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Sea $\mathcal{T}_{\mathbf{d}}$ el operador de traslaci\'{o}n con
vector despazamiento $\mathbf{d}$, $\mathcal{D}\left(\hat{\mathbf{n}},\phi\right)$
el operador de rotaci\'{o}n ($\hat{\mathbf{n}}$ y $\phi$ son respectivamente
el eje y el \'{a}ngulo de rotaci\'{o}n) y $\Pi$ el operador de
paridad. ¿Cu\'{a}les de los siguientes pares de operadores conmutan?
¿Por qu\'{e}? 

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{T}_{\mathbf{d}}$ y $\mathcal{T}_{\mathbf{d'}}$ ($\mathbf{d}$
y $\mathbf{d}'$ en distintas direcciones). 
\item $\mathcal{D}\left(\hat{\mathbf{n}},\phi\right)$ y $\mathcal{D}\left(\hat{\mathbf{n}}',\phi'\right)$
($\hat{\mathbf{n}}$ y $\hat{\mathbf{n}}'$ en distintas direcciones). 
\item $\mathcal{T}_{\mathbf{d}}$ y $\Pi$. 
\item $\mathcal{D}\left(\hat{\mathbf{n}},\phi\right)$ y $\Pi$. 
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item Se sabe que un estado cu\'{a}ntico $|\Phi\rangle$ es simultaneamente
autoestado de dos operadores hermíticos $A$ y $B$ que anticonmutan.
¿Qu\'{e} puede decir sobre los correspondientes autovalores de $A$
y $B$ para este estado? Ilustre el resultado usando el operador paridad
y el operador de momentos (utilice que $\Pi=\Pi^{-1}=\Pi^{\dagger}$).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%------------------------------------------------------------------------
\item Considere dos autoestados del operador paridad
\begin{displaymath}
\Pi \left|\alpha\right> = \epsilon_\alpha \left|\alpha\right> \;\;\;\; 
    \Pi \left|\beta\right> = \epsilon_\beta \left|\beta\right> \; ,
\end{displaymath}
donde los autovalores $\epsilon_\alpha$ y $\epsilon_\beta$ pueden ser 
1 o $-1$. Muestre que
\begin{displaymath}
\left<\beta|{\bf x}|\alpha\right> = 0
\end{displaymath}
salvo si $\epsilon_\alpha=-\epsilon_\beta$. Relacione este resultado 
con el argumento usual $
\int \phi_\beta^* {\bf x} \phi_\alpha {\rm d}^3{\bf x} = 0$
si $\phi_\alpha$ y $\phi_\beta$ tienen la misma paridad. ?`Qu\'e 
ocurre con $\left<\beta|{\bf p}|\alpha\right>$? ?`Y con 
$\left<\beta|{\bf S}\cdot{\bf x}|\alpha\right>$?
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Considere la funci\'on de onda de una part\'{\i}cula sin 
esp\'{\i}n
\begin{displaymath}
\left<{\bf x}|\alpha lm\right> = R_\alpha(r) Y_l^m(\theta,\phi) \; .
\end{displaymath}
?`Qu\'e puede decir del $V({\bf r})$ en que se encuentra la 
part\'{\i}cula? Usando las expresiones de los arm\'onicos esf\'ericos, 
muestre que frente a la transformaci\'on de paridad 
${\bf x}\to-{\bf x}$, el estado se transforma como
\begin{displaymath}
\Pi \left|\alpha lm\right> = (-1)^l \left|\alpha lm\right> \; .
\end{displaymath}
?`Qu\'e puede decir de las propiedades de conmutaci\'on de $\Pi$ y 
${\bf L}$?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item Una partícula de espín $1/2$ est\'{a} ligada a un centro fijo por
un potencial esf\'{e}ricamente sim\'{e}trico. Considere las funciones
espín-angulares \begin{eqnarray*}
\mathcal{Y}_{l}^{j=l\pm1/2,m} & = & \pm\sqrt{\frac{l\pm m+1/2}{2l+1}}Y_{l}^{m-1/2}(\theta,\phi)\left(\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right)+\sqrt{\frac{l\mp m+1/2}{2l+1}}Y_{l}^{m+1/2}(\theta,\phi)\left(\begin{array}{c}
0\\
1\end{array}\right)\\
{} & = & \frac{1}{\sqrt{2l+1}}\left(\begin{array}{c}
\pm\sqrt{l\pm m+1/2}Y_{l}^{m-1/2}(\theta,\phi)\\
\sqrt{l\mp m+1/2}Y_{l}^{m+1/2}(\theta,\phi)\end{array}\right)\end{eqnarray*}
 que son autofunciones de $L^{2}$, $S^{2}$, $J^{2}$, y $J_{z}$
simultaneamente. 

\begin{enumerate}
\item Escriba la funci\'{o}n espín-angular para momento angular orbital nulo $\mathcal{Y}_{l=0}^{j=1/2,m=1/2}$. 
\item Exprese $\left(\mbox{\boldmath$\sigma$}\cdot\mathbf{x}\right)\mathcal{Y}_{l=0}^{j=1/2,m=1/2}$
en t\'{e}rminos de $\mathcal{Y}_{l}^{j,m}$. El operador $\mbox{\boldmath$\sigma$}\cdot\mathbf{x}$ describe la interacción entre un campo magnético que crece linealmente con la posición y el espín. Potenciales de este tipo se utilizan en trampas magneto-ópticas para atrapar átomos magnéticos.
\item Muestre que el resultado obtenido en (b) se puede interpretar usando
las propiedades de transformaci\'{o}n de $\mathbf{S\cdot x}$ ante
rotaciones e inversi\'{o}n espacial (paridad). 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Eval\'ue los siguientes elementos de matriz. Si alguno se
anula, explique por qu\'e usando argumentos de simetr\'{\i}a.
\begin{enumerate}
\item $\left<n=2,l=1,m=0|x|n=2,l=0,m=0\right>$.
\item $\left<n=2,l=1,m=0|p_z|n=2,l=0,m=0\right>$.
\item $\left<L_z\right>$ para un electr\'on en un campo central 
con $j=9/2$, $m=7/2$, y $l=4$.
\end{enumerate}
En (a) y (b), $\left|nlm\right>$ son los autoestados de energ\'{\i}a 
del \'atomo de hidr\'ogeno ignorando los efectos de esp\'{\i}n.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Debido a interacciones d\'{e}biles existentes entre los electrones
at\'{o}micos y el n\'{u}cleo, se puede tomar un potencial que viola
paridad de la siguiente forma: \[
V=\lambda\left[\delta^{3}(\mathbf{x})\mathbf{S\cdot p}+\mathbf{S\cdot p}\delta^{3}(\mathbf{x})\right]\]
 donde $\mathbf{S}$ y $\mathbf{p}$ son los operadores de espín y
de momento del electr\'{o}n respectivamente, y se supone que el n\'{u}cleo
est\'{a} ubicado en el origen de coordenadas. Como resultado, el
estado fundamental de un \'{a}tomo alcalino, usualmente caracterizado
por $|n,l,j,m\rangle$, en realidad contiene pequeñas contribuciones
provenientes de otros autoestados en la siguiente manera: \[
|n,l,j,m\rangle\rightarrow|n,l,j,m\rangle+\sum_{n'l'j'm'}C_{n'l'j'm'}|n',l',j',m'\rangle.\]
 Usando solamente consideraciones de simetría, ¿qu\'{e} puede decir
acerca de los $(n',l',j',m')$ que dan contribuciones no nulas? Suponga
que las funciones de onda radiales y los niveles de energía son conocidos.
Indique como calcularía los $C_{n'l'j'm'}$. ¿Se obtienen m\'{a}s
restricciones acerca de los $(n',l',j',m')$?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}{\bf Inversión Temporal}\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \vspace{-1mm}

\begin{enumerate}
\item Sea $\phi(x,t)$ la funci\'{o}n de onda de una partícula sin espín
correspondiente a una onda plana en tres dimensiones. Muestre que
$\phi^{*}(x,-t)$ es la funci\'{o}n de onda de una onda plana con
la direcci\'{o}n del momento invertida . 
\item Sea $\chi(\hat{\mathbf{n}})$ el auto-espinor de dos componentes de
$\mbox{\boldmath$\sigma$}\cdot\hat{\mathbf{n}}$ con autovalor $+1$.
Utilizando la forma explícita de $\chi(\hat{\mathbf{n}})$ en t\'{e}rminos
de los \'{a}ngulos polares y azimutales $\alpha$ y $\beta$ que
caracterizan a $\hat{\mathbf{n}}$, verifique que $-i\sigma_{y}\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}})$
es el auto-espinor con la direcci\'{o}n de espín invertida.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \vspace{-1mm}

\begin{enumerate}
\item Asumiendo que el hamiltoniano es invariante ante inversi\'{o}n temporal,
pruebe que la funci\'{o}n de onda para un sistema no degenerado sin
espín, puede ser elegida real en cada instante de tiempo. 
\item La funci\'{o}n de onda para un estado de onda plana est\'{a} dada
en $t=0$ por la funci\'{o}n compleja $e^{i\mathbf{p\cdot x}/\hbar}$.
¿Por qu\'{e} esto no viola la invariancia de inversi\'{o}n temporal? 
\end{enumerate}
\item Sea $\phi(\mathbf{p}')=\left\langle \mathbf{p}'|\alpha\right\rangle $
la funci\'{o}n de onda en representaci\'{o}n de momentos del estado
$|\alpha\rangle$. La funci\'{o}n de onda en representaci\'{o}n
de momentos del estado $\Theta|\alpha\rangle$ (donde $\Theta$ es
el operador de inversi\'{o}n temporal), ¿est\'{a} dada por $\phi(\mathbf{p}')$,
$\phi(-\mathbf{p}')$, $\phi^{*}(\mathbf{p}')$ ó por $\phi^{*}(-\mathbf{p}')$?
Justifique.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item \vspace{-1mm}
Ejercicios algebraicos sobre inversión temporal.
\begin{enumerate}
\item ¿Cu\'{a}l es el estado inverso-temporal correspondiente a $\mathcal{D}(R)|j,m\rangle$? 
\item Usando las propiedades de inversi\'{o}n temporal y rotaciones, pruebe
que \[
\mathcal{D}_{m',m}^{(j)*}(R)=(-1)^{m-m'}\mathcal{D}_{-m',-m}^{(j)}(R)\]

\item Pruebe que $\Theta|j,m\rangle=i^{2m}|j,-m\rangle$. 
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Suponga que una partícula sin espín est\'{a} ligada a un centro fijo
por un potencial $V(\mathbf{x})$, tan asim\'{e}trico que ning\'{u}n
nivel de energía es degenerado. Usando invariancia ante inversi\'{o}n
temporal, pruebe que \[
\left\langle \mathbf{L}\right\rangle =0\]
 para cualquier autoestado de energía. \\
 Si la funci\'{o}n de onda de uno de estos autoestado no degenerados se expande en la forma \[
\sum_{l}\sum_{m}F_{lm}(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\]
 ¿qu\'{e} tipo de restricciones de fase se obtienen para $F_{lm}(r)$?
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\item El hamiltoniano de un sistema de espín 1 est\'{a} dado por \[
H=AS_{z}^{2}+B(S_{x}^{2}-S_{y}^{2})\]
 Resuelva exactamente este problema para encontrar los autoestados
normalizados de energía y sus autovalores (un hamiltoniano dependiente
del espín de este tipo aparece en el estudio de cristales). ¿Es este
hamiltoniano invariante ante inversi\'{o}n temporal? ¿C\'{o}mo se
transforman ante inversi\'{o}n temporal los autoestados normalizados
obtenidos?

\end{enumerate}
\end{document}

