\documentclass[a4,textcomp,12pt]{article}

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\begin{document}

\lhead[\fancyplain{}]{Física Teórica II}
\rhead[\fancyplain{}]{Práctica 8: Teoría de Perturbaciones}



\begin{center}
{\Large \bf Física Teórica II} \\
{\large \bf Práctica 8: Teoría de Perturbaciones\\}
{\bf Parte I: Perturbaciones Independientes del Tiempo}

\end{center}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item Si los estados vibracionales de una molécula diatómica dipolar pueden ser descriptos adecuadamente por un potencial armónico unidimensional, estudie qué ocurre cuando se enciende un campo eléctrico constante de modo que la energía se ve modificada en
\[
V=bx\]
 donde $b$ es una constante real que depende del la molécula y el campo externo. 
\begin{enumerate}
\item Calcule el desplazamiento de energía del estado fundamental al menor
orden no nulo. 
\item Resuelva este problema en forma exacta y compare con el resultado
hallado en (a). Ayuda: En una guía anterior calcularon el elemento de matriz:
\[
\left\langle n'|x|n\right\rangle =\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\sqrt{n+1}\delta_{n',n+1}+\sqrt{n}\delta_{n',n-1}\right)\]
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item Un pozo cuántico es un pozo de potencial que confina a partículas a moverse en dos dimensiones. Tales pozos pueden construirse con muticapas de semiconductores. El confinamiento en las dos direcciones restantes puede diseñarse con bastante libertad para conseguir distintas estucturas de niveles energéticos. Este tipo de técnicas se utiliza para hacer LEDs y diodos láser de distintos colores.\\
Consideremos el caso que el potencial en la dos direcciones restantes es de la forma
 \[
V=\left\{ \begin{array}{ll}
0 & \mbox{para}\,0\leq x\leq L,\,0\leq y\leq L\\
\infty & \mbox{en otro caso.}\end{array}\right.\]
\begin{enumerate} 
 \item ¿Cuáles son las autofunciones de la energía para el estado fundamental
y el primer excitado?\\

\item Si agregamos una perturbaci\'{o}n independiente
del tiempo de la forma \[
V_{1}=\left\{ \begin{array}{ll}
\lambda xy & \mbox{para}\,0\leq x\leq L,0\leq y\leq L\\
0 & \mbox{en otro caso}\end{array}\right.\]
¿Cómo son las autofunciones de la energía a orden cero, y los desplazamientos
de energía a primer orden para el estado fundamental y el primer excitado?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Considere un oscilador arm\'{o}nico is\'{o}tropo en dos dimensiones.
El hamiltoniano est\'{a} dado por \[
H_{0}=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{m\omega^{2}}{2}(x^{2}+y^{2})\]



Este tipo de Hamiltoniano pude usarse para describir aproximadamente varios sistemas físicos, por ejemplo: iones en una trampa electromagnética que es muy confinante en una dirección ($z$ en este caso), en las otras direcciones el potencial efectivo es el de un oscilador armónico.
\begin{enumerate}
\item ¿Cu\'{a}les son las energías de los tres estados de menor energía?
¿Hay degeneraci\'{o}n? 
\item Ahora se aplica la perturbaci\'{o}n $V=\delta\, m\omega^{2}xy$,
donde $\delta$ es un n\'{u}mero real adimensional mucho menor que
uno. Encuentre el autoestado de energía a orden cero y la correspondiente
autoenergía a primer orden {[}es decir, la energía no perturbada de
(a) m\'{a}s el corrimiento de energía a primer orden{]} para cada
uno de los tres estados de menor energía. 
\item Resuelva exactamente $H_{0}+V$. Compare con los resultados perturbativos
hallados en (b). Estudie que pasa si $\delta$ es grande (tanto negativo como positivo). 

\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item Las moléculas de amoníaco, en presencia de un campo eléctrico pueden orientare en dos direcciones. Cada una con diferente energía. Esta orientación, también puede invertirse con cierta, pequeña, probabilidad. 
Su orientación, en estas circunstancias puede ser descripta por un sistema de don niveles con el siguiente Hamiltoniano:
 \[
H=\left(\begin{array}{cc}
E_{1}^{0} & \lambda\Delta\\
\lambda\Delta & E_{2}^{0}\end{array}\right)\]
Los autovectores de la energía del problema no perturbado
($\lambda=0$) son \[
\phi_{1}^{(0)}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right),\;\;\;\;\phi_{2}^{(0)}=\left(\begin{array}{c}
0\\
1\end{array}\right).\]


\begin{enumerate}
\item Resuelva este problema exactamente, encuentre los autovectores y autovalores
de la energía. 
\item Asumiendo que $\lambda|\Delta|\ll|E_{1}^{0}-E_{2}^{0}|$, resuelva
el mismo problema usando la teoría de perturbaciones. Halle la correcci\'{o}n
de primer orden en los autovectores y de segundo orden en los niveles
de energía. Compare los resultados con los obtenidos en (a). 
\item Suponga ahora que los niveles de energía no perturbados est\'{a}n
casi degenerados ($|E_{1}^{0}-E_{2}^{0}|\ll\lambda|\Delta|$). Muestre
que los resultados obtenidos en (a) se parecen mucho a los que obtendría
al aplicar la teoría de perturbaciones para el caso degenerado ($E_{1}^{0}=E_{2}^{0}$).
\end{enumerate}
\textbf{NOTA:} Vean el tomo 3 del libro de las Lectures de  Feynman para leer mucho más sobre la molécula de amoníaco como un sistema de dos niveles. 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Considere nuevamente la mol\'ecula de amon\'{\i}aco NH$_3$, donde un 
electr\'on puede saltar de un \'atomo a otro de la mol\'ecula. Si 
el electr\'on est\'a localizado en el \'atomo de nitr\'ogeno 
(correspondiente al estado $\left|1\right>$) tiene una energ\'{\i}a 
$E_1$, mientras que si est\'a localizado en cada \'atomo de hidr\'ogeno 
(estados $\left|i\right>$ con $i=2,3,4$) tiene una energ\'{\i}a $E_2$. 
Consideremos ahora el efecto t\'unel entre \'atomos, dado por una 
perturbaci\'on $W$ tal que
\begin{eqnarray*}
W\left|1\right> &=& a(\left|2\right>+\left|4\right>) \\
W\left|2\right> &=& a(\left|1\right>+2\left|2\right>-\left|3\right>-
    \left|4\right>) \\
W\left|3\right> &=& a(-\left|2\right>+2\left|3\right>-\left|4\right>) \\
W\left|4\right> &=& a(\left|1\right>-\left|2\right>-\left|3\right>+
    2\left|4\right>)\; .
\end{eqnarray*}
El Hamiltoniano total es entonces $H=H_0+W$.
\begin{enumerate}
\item Hallar la matriz de $H$ en la base de localizaci\'on 
$\left|j\right>$.
\item Considerando $|a|\ll E_{1,2}$, hallar como se corrigen los 
niveles de energ\'{\i}a hasta segundo orden, y los autoestados 
hasta primer orden de teor\'{\i}a de perturbaciones.
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item Calcule el efecto Stark para los niveles $2s_{1/2}$ y $2p_{1/2}$
del \'{a}tomo de Hidr\'{o}geno en un campo el\'{e}ctrico suficientemente
d\'{e}bil (es decir que $e|\mathbf{E}|a_{0}$ es pequeño comparado
con la constante de estructura fina, donde $a_{0}$ es el radio de
Bohr). Considere un potencial perturbativo de la forma \[
V=-ez|\mathbf{E}|,\]
 y use consideraciones de paridad y el teorema de Wigner-Eckart para
ver que elementos de matriz de $V$ se anulan. Muestre que el corrimiento
de energía es lineal en $|\mathbf{E}|$. La integral radial que necesita
es \[
\left\langle 2s|r|2p\right\rangle =3\sqrt{3}a_{0}.\]
 Discuta brevemente las consecuencias (si las hay) de la inversi\'{o}n
temporal en este problema.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\item El fullereno es una molécula esférica átomos de carbono. La más común, de 60 átomos, tiene forma de pelota de futbol. Modelaremos su momento de inercia $I$ considerándolo isótropo. Además agregaremos un campo magnético externo principalmente en la dirección $z$ pero con una pequeña componente en $y$. En tal caso, depreciando términos de órdenes superiores en los campos podemos describir las propiedades rotacionales de este sistema con el Hamiltoniano: 
\[
\frac{\mathbf{L}^{2}}{2I}+BL_{z}+CL_{y}\]
Asumiendo que $B\gg C$, use la teoría de perturbaciones para obtener
los autovalores de la energía al orden mas bajo no nulo. \\
Nota: Este problema puede resolverse exactamente.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\item Calcule el efecto Zeeman cuadrático para el estado fundamental del
átomo de hidrógeno $\left[\langle\mathbf{x}|\varphi_{0}\rangle=\left(1/\sqrt{\pi a_{0}^{3}}\right)e^{-r/a_{0}}\right]$,
debido al término $e^{2}\mathbf{A}^{2}/2m_{e}c^{2}$, a primer orden.
Escriba el corrimiento de energía como\[
\Delta=-\frac{1}{2}\chi\mathbf{B}^{2}\]
y obtenga la expresión para la susceptibilidad diamagnética, $\chi$.
Ayuda:\[
\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha r}r^{n}dr=\frac{n!}{\alpha^{n+1}}\]

\begin{center}
{\bf Anexo: Principio Variacional}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item Estime la energía del nivel fundamental del oscilador arm\'{o}nico
unidimensional usando \[
\left\langle x|\widetilde{0}\right\rangle =e^{-\beta|x|}\]
 como funci\'{o}n de prueba de par\'{a}metro variable $\beta$.
Tenga en cuenta la integral \[
\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x}x^{n}\, dx=\frac{n!}{\alpha^{n+1}}.\]


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\item Estime el autovalor $\lambda$ mas bajo de la ecuaci\'{o}n diferencial
\[
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\left(\lambda-|x|\right)\psi=0,\;\;\;\;\psi\rightarrow0\mbox{ para }|x|\rightarrow\infty\]
usando el m\'{e}todo variacional con \[
\psi=\left\{ \begin{array}{cc}
c(\alpha-|x|) & \mbox{para }|x|<\alpha\\
0 & \mbox{para }|x|>\alpha\end{array}\right.\]
 como funci\'{o}n de prueba de par\'{a}metro variacional $\alpha$.
Tenga cuidado porque $d\psi/dx$ es discontinua en $x=0$. Puede probarse
que el valor exacto del autovalor es $1,019$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
{\bf Parte II: Perturbaciones Dependientes del Tiempo}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item 
Consideren un átomo alcalino, es decir, que puede ser aproximadamente descripto por una función de onda hidrogenoide con un electrón (con espín, claro): $|n,m,m_{l},m_{s}\rangle$ . Si se enciende un campo eléctrico cuadrupolar que transiciones son posibles? Consideren en particular los campos cuadrupolares $\alpha_1(3z^{2}-r^{2})$ y $\alpha_2xy$ . Estas posibles transiciones suele llamarse reglas de selección.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item Considere el oscilador arm\'{o}nico unidimensional de frecuencia
$\omega_{0}$, que a $t<0$ est\'{a} en el estado fundamental. A
$t=0$ se enciende una perturbaci\'{o}n \[
V(t)=F_{0}x\,\cos\omega t\]
 donde $F_{0}$ es una constante. Obtenga una expresi\'{o}n para
el valor de expectaci\'{o}n $\left\langle x\right\rangle $ como
funci\'{o}n del tiempo usando la teoría de perturbaciones al orden
mas bajo no nulo. ¿Es v\'{a}lido este procedimiento para $\omega\approx\omega_{0}$?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\item Un oscilador arm\'{o}nico unidimensional est\'{a} en el estado fundamental
para $t<0$. A tiempos positivos se lo somete a una fueza dependiente
del tiempo pero especialmente uniforme en la direcci\'{o}n $x$ dada
por \[
F(t)=F_{0}e^{-t/\tau}\]


\begin{enumerate}
\item Usando la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo, obtenga
la probabilidad de encontrar el oscilador en el primer estado excitado
a primer orden. Muestre que en el límite $t\rightarrow\infty$, la
expresi\'{o}n es independiente del tiempo. ¿Es esto razonable o sorprendente? 
\item ¿Podemos encontrar al oscilador en estados excitados de mayor energía? 
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item El hamiltoniano de un sistema de dos niveles \[
H_{0}=\left(\begin{array}{cc}
E_{1}^{0} & 0\\
0 & E_{2}^{0}\end{array}\right)\]
 es perturbado por el potencial \[
V(t)=\left(\begin{array}{cc}
0 & \lambda\cos\omega t\\
\lambda\cos\omega t & 0\end{array}\right)\]
 donde $\lambda$ es real. 

\begin{enumerate}
\item A $t=0$ el sistema est\'{a} en el estado \[
\left(\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right)\]
 Usando la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo y asumiendo
que $E_{1}^{0}-E_{2}^{0}$ no es cercano a $\pm\hbar\omega$, derive
una expresi\'{o}n para la probabilidad de que el sistema se encuentre
en el estado \[
\left(\begin{array}{c}
0\\
1\end{array}\right)\]
 para tiempos positivos. 
\item ¿Por qu\'{e} este procedimiento no es v\'{a}lido cuando $E_{1}^{0}-E_{2}^{0}\approx\pm\hbar\omega$? 
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item Considere un sistema compuesto por dos objetos de espín $1/2$. Para
$t<0$ el hamiltoniano no depende del espín y puede igualarse a cero
corriendo la escala de energía. Para $t>0$ el hamiltoniano est\'{a}
dado por \[
H=\left(\frac{4\Delta}{\hbar^{2}}\right)\mathbf{S}_{1}\cdot\mathbf{S}_{2}\]
 Suponga que el sistema est\'{a} en el estado $|+-\rangle$ para
$t<0$. Encuentre la probabilidad de que a un tiempo $t$ el sistema
se halle en cada uno de los estados $|++\rangle$, $|+-\rangle$,
$|-+\rangle$, y $|--\rangle$ 

\begin{enumerate}
\item resolviendo el problema exactamente, 
\item suponiendo que vale la teoría de perturbaciones a primer orden, siendo
$H$ la perturbaci\'{o}n que se enciende a $t=0$.\\  ¿Bajo qu\'{e}
condiciones (b) da resultados correctos?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Considere un sistema de dos niveles con $E_{1}<E_{2}$ y un potencial
dependiente del tiempo que conecta los dos niveles \[
V_{11}=V_{22}=0,\;\;\;\;\; V_{12}=V_{21}^{*}=\gamma e^{i\omega t}\]
 donde $\gamma$ es real. A $t=0$ se sabe que sólo el nivel mas bajo
est\'{a} poblado, es decir que $c_{1}(0)=1$, y $c_{2}(0)=0$. 

\begin{enumerate}
\item Encuentre $|c_{1}(t)|^{2}$ y $|c_{2}(t)|^{2}$ para $t>0$ en forma
exacta resolviendo la ecuaci\'{o}n diferencial \[
i\hbar\frac{dc_{k}}{dt}=\sum_{n=1}^{2}V_{kn}(t)e^{i\omega_{kn}t}c_{n},\;\;\;\;\; k=1,2\]

\item Resuelva el mismo problema usando la teoría de perturbaciones dependiente
del tiempo al orden mas bajo no nulo. Compare con el resultado hallado
en (a) para pequeños valores de $\gamma$. Trate por separado los
siguientes casos: 

\begin{enumerate}
\item [{\it i})]$\omega$ muy diferente de $\omega_{12}$, y 
\item [{\it ii})]$\omega\approx\omega_{12}$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item El estado fundamental de un \'{a}tomo de hidr\'{o}geno \[
\psi_{n=1,l=0}(\mathbf{x})=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{z}{a_{0}}\right)^{2/3}e^{-Zr/a_{0}}\]
 es sujeto a la acci\'{o}n de un potencial dependiente del tiempo
\[
V(\mathbf{x},t)=V_{0}\cos(kz-\omega t)\]
 Usando la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo, obtenga
una expresi\'{o}n para la tasa de la transici\'{o}n en la cual el
electr\'{o}n es emitido con momento $\mathbf{p}$. En particular,
muestre como calcular la distribuci\'{o}n angular del electr\'{o}n
emitido en t\'{e}rminos de los \'{a}ngulos $\theta$ y $\phi$ medidos
respecto del eje $z$. Discuta la relaci\'{o}n de este problema con
un modelo más realista del efecto fotoel\'{e}ctrico.\\ \textbf{Nota:}
Si encuentra un problema de normalizaci\'{o}n, tome a la funci\'{o}n
de onda final como \[
\psi_{f}(\mathbf{x})=\left(\frac{1}{L^{2/3}}\right)e^{i\mathbf{p\cdot x}/\hbar}\]
 con $L$ suficientemente grande, aunque debería mostrar que los efectos
observables son independientes de $L$.


\end{enumerate}
\end{document}

