\documentclass[a4,textcomp,12pt]{article}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% Algunos Comandos Comodos
\newcommand{\bra}[1]{\left\langle{#1}\right\vert}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert{#1}\right\rangle}
\newcommand{\braket}[2]{\left\langle{#1}\vert{#2}\right\rangle}
\newcommand{\ketbra}[2]{\left\vert{#1}\right\rangle\!\!\left\langle{#2}\right\vert}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \textwidth=170mm 
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 \oddsidemargin=-0.5cm %0 equivale a est a 1in o 2.54cm del borde
 \evensidemargin=0cm
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\long\def\symbolfootnote[#1]#2{\begingroup%
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}\footnote[#1]{#2}\endgroup}


\begin{document}

\lhead[\fancyplain{}]{Física Teórica II}
\rhead[\fancyplain{}]{Práctica 9: Sistemas Compuestos}



\begin{center}
{\Large \bf Física Teórica II} \\
{\large \bf Práctica 9: Sistemas Compuestos\\}
\end{center}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Comparen los valores medios y los posibles resultados que pueden obtenerse al medir el espín en las tres direcciones cartesianas si se tiene:
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Un sistema en el estado puro $\rho=\ketbra{\psi}{\psi}$ con $\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{\uparrow}+\ket{\downarrow})$
\item Un sistema en el estado mixto $\rho=\frac{1}{2}(\ketbra{\uparrow}{\uparrow}+\ketbra{\downarrow}{\downarrow})$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Un sistema en el estado puro $\rho=\ketbra{\psi}{\psi}$ con $\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt 3}\ket{\uparrow}+\sqrt{\frac{2}{3}}\ket{\downarrow}$
\item Un sistema en el estado mixto $\rho=\frac{1}{3}\ketbra{\uparrow}{\uparrow}+\frac{2}{3}\ketbra{\downarrow}{\downarrow}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item \begin{enumerate}
\item Consideren un estado puro de sistemas de espín 1/2 preparados en forma id\'{e}ntica. Supongan
que los valores de expectaci\'{o}n $\left\langle S_{x}\right\rangle $,
$\left\langle S_{z}\right\rangle $ y el signo de $\left\langle S_{y}\right\rangle $
son conocidos. Indiquen c\'{o}mo determinaría el vector de estado.
¿Por qu\'{e} no es necesario conocer la magnitud de $\left\langle S_{y}\right\rangle $?
\item Consideren un estado mixto de sistemas de espín 1/2. Supongan que los
promedios $[S_{x}]$, $[S_{y}]$ y $[S_{z}]$ son conocidos. Indiquen
c\'{o}mo construir matrices densidad de $2\times2$ que caracterizen
el estado.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Considere un estado de sistemas de espín 1. La matriz densidad ahora
es de $3\times3$. ¿Cu\'{a}ntos par\'{a}metros reales independientes
se necesitan ahora para caracterizar la matriz densidad? ¿Qu\'{e}
es necesario conocer adem\'{a}s de $[S_{x}]$, $[S_{y}]$ y $[S_{z}]$
para caracterizar al estado completamente? 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Consideren un sistema compuesto por dos subsistemas de espín 1/2 en el estado singlete. Estamos intresados en conocer los valores medios de las mediciones del espín en la dirección $x$, $y$ y $z$ para la primer partícula independientemente de lo que pase con la segunda. Comprueben que el resultado obtenido con la fórmula $\bra{\psi}I\otimes S_i\ket{\psi}$ es el mismo que utilizando $Tr(S_i\rho_1)$, donde $\rho_1$ es la matriz densidad reducida $\rho_1=Tr_2(\ketbra{\psi}{\psi})$ 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Consideren nuevamente un par sistemas de dimensión 2 (espín del electrón, polarización del fotón, etc.). Consideramos tres casos:
\begin{enumerate}
\item Un sistema en un estado puro no separable $\rho=\ketbra{\psi}{\psi}$ con $\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow})$
\item Un sistema en un estado puro y separable $\rho=\ketbra{\psi}{\psi}$ con $\ket{\psi}=\ket{\uparrow\downarrow}$
\item Un sistema en el estado mixto $\rho=\frac{1}{2}(\ketbra{\uparrow\downarrow}{\uparrow\downarrow}+\ketbra{\downarrow\uparrow}{\downarrow\uparrow})$
\end{enumerate}


Se mide la primer partícula en la dirección $\hat{n}_1$ y la segunda en la dirección $\hat{n}_2$. 
\begin{enumerate}
\item ¿Cuál es la probabilidad de que ambas den como resultado de la medición el autovalor positivo? Es decir, ¿cuánto vale para cada caso la probabilidad conjunta $p(+_{\hat{n}_1},+_{\hat{n}_2})$? \\Estudien en particular el caso simplificado $\ket{+_{\hat{n}_i}}=\cos{\alpha_i}\ket{\uparrow_i}+\sin{\alpha_i}\ket{\downarrow_i}$.
\item Para ilustrar sus resultados grafiquen las probabilidades obtenidas $p(+_{\hat{n}_1},+_{\hat{n}_2})$ como función de $\hat{n}_1$ para $\hat{n}_2=0,\pi/2,\pi$. 
\item Calculen también las funciones de correlación $c(+_{\hat{n}_1},+_{\hat{n}_2})=p(+_{\hat{n}_1},+_{\hat{n}_2})-p(+_{\hat{n}_1})p(+_{\hat{n}_2})$
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\item Se define la pureza de un estado $\rho$ como $\text{Tr} \left(\rho^2\right)$. Considere el estado $\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{\uparrow \uparrow}+\ket{\uparrow\downarrow}\right)$.
\begin{enumerate}
\item Calcule la pureza del estado $\ket{\psi}$.
\item Si se toma la traza parcial sobre el primer subsistema, calcule la pureza del segundo subsistema.
\item Si se toma la traza parcial sobre el segundo subsistema, calcule la pureza del primer subsistema.
\item Puede escribirse $\ket{\psi}$ como un estado producto?
\end{enumerate}
Repita los puntos anteriores para $\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{\downarrow \uparrow}+\ket{\uparrow\downarrow}\right)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \begin{enumerate}
\item Prueben que la evoluci\'{o}n temporal del operador densidad $\rho$ en el esquema de Schr\"{o}dinger est\'{a}
dada por 
\[
\rho(t)=U(t,t_{0})\rho(t_{0})U^{\dagger}(t,t_{0})\]
 donde $U(t,t_{0})$ es el operador de evoluci\'{o}n temporal. 
\item A partir de la ecuaci\'{o}n de Schr\"{o}dinger para el operador $U(t,t_{0})$,
encuentre la ecuaci\'{o}n de Schr\"{o}dinger para el operador densidad.
¿Cu\'{a}l es la diferencia fundamental con la correspondiente ecuaci\'{o}n
de Heisenberg? 
\item Supongan que a $t=0$ tiene un estado puro. Muestre
que el estado no puede evolucionar a uno mixto si la evoluci\'{o}n
temporal est\'{a} prescripta por la ecuaci\'{o}n de Schr\"{o}dinger.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Vamos a reconsiderar el experimento de Stern-Gerlach agregándole grados de libertad. Hasta ahora solo consideramos cuantitativamente que pasa con el espín pero hablamos de la posición de modo cualitativo. Vamos a remediar un poco esta situación. 
\begin{enumerate}
\item Frente a un campo inhomogeneo en la dirección $z$ un espín $1/2$ siente una fuerza $\mu\sigma_z\partial B/\partial z$. Si el gradiente del campo es constante $\partial B/\partial z=cte$ entonces el Hamiltoniano de interacción estará dado por:
\[ H_{int}=\mu\sigma_z\frac{\partial B}{\partial z}z\]
Calculen la evoluci\'on temporal bajo la acci\'on de este Hamiltoniano por un dado tiempo $t$. Escriba la matriz densidad final.  Consideren estados iniciales que son el producto entre un estado coherente de mínima incerteza $\ket{0}$ en la dirección $z$ dado por $\braket{z}{0}=\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{z_0}}e^{-z^2/2z_0^2}$ y un estado de espín tal que:
\begin{enumerate}
\item Inicialmente el espín apunta $+z$; $\ket{\psi(0)}=\ket{0}\ket{\uparrow}$.
\item Inicialmente el espín apunta $-z$; $\ket{\psi(0)}=\ket{0}\ket{\downarrow}$.
\item Inicialmente el espín apunta $+x$; $\ket{\psi(0)}=\ket{0}(\ket{\uparrow}+\ket{\downarrow})/\sqrt{2}$.
\item Sabemos que el espín es preparado la mitad de las veces en la dirección $+z$ y la otra mitad en $-z$; $\rho(0)=\ketbra{0}{0}(\ketbra{\uparrow}{\uparrow}+\ketbra{\downarrow}{\downarrow})/2$.
\end{enumerate}
\item Si una vez que la partícula interactúa con el campo magnético ésta viaja bastante hasta los detectores, que van a determinar si la partícula se corrió hacia $+z$ o $-z$, es muy posible que en el camino interactúe con su entorno (el tubo por que que viajan, otras partículas en el camino, otros grados de libertad de la misma partícula, etc.). Esta interacción será distinta dependiendo de si la partícula fue por el camino superior o el inferior. Consideremos esta evolución si el estado de entrada era el del punto c). En este caso, luego del campo magnético, la partícula estará en el estado $\ket{\psi(t_1)}=(\ket{+\alpha,\uparrow}+\ket{-\alpha,\downarrow})/\sqrt{2}$. Si al avanzar hacia los detectores se acopla con su entorno evolucionará al estado:
\[\ket{\psi(t_1)}\rightarrow\ket{\psi(t_2)}=\frac{\ket{e_1,+\alpha,\uparrow}+\ket{e_2,-\alpha,\downarrow}}{\sqrt{2}}\]
Donde $\ket{e_1}$ y $\ket{e_2}$ representan los estado del entorno. Que tan parcecida es la interacción para cada camino vienen dada por $\epsilon=\left|\braket{e_1}{e_2}\right|^2$. Con $\epsilon=0$ las interacciones son completamente distintas y con $\epsilon=1$ son iguales. Como los detectores no registran este nuevo grado de libertad debemos ignorarlo al estudiar los posibles valores y valores medios que se pueden medir trazando sobre estos grados de libertad. Caculen entonces la matriz densidad reducida del sistema $\rho_{s}=Tr_e(\rho)$ luego de interacturar con el medio ambiente. Estudien como depende del parámetro  $\epsilon$ que caracteriza que tan parecida es la interacción con el medio ambiente por ambos caminos. 

\item Comprueben que una evolución como la del punto anterior puede darse con un Hamiltoniando del tipo $H=g\ketbra{\uparrow}{\uparrow}\otimes\ketbra{\leftarrow}{\leftarrow}$ con  
$ \ket{\leftarrow}=(\ket{\uparrow}-\ket{\downarrow}) /\sqrt2$.  Encuentren el tiempo en el que la evolución transforma los estados de la siguente manera: 
\begin{eqnarray*}
\ket{\uparrow\uparrow}\rightarrow\ket{\uparrow\downarrow}&;&\ket{\uparrow\downarrow}\rightarrow\ket{\uparrow\uparrow}\\
\ket{\downarrow\uparrow}\rightarrow\ket{\downarrow\uparrow}&;&\ket{\downarrow\downarrow}\rightarrow\ket{\downarrow\downarrow}
\end{eqnarray*}
Ésta evolución lleva el nombre de CNOT (controlled-not), y actúa cambiando el estado de la segunda partícula condicionado al estado de la primera. Escriban el operador unitario que representa esta evolución.
\end{enumerate}
\item Consideren la acción de una evolución CNOT en los siguientes estados:
 \begin{enumerate}
  \item $\ket{\uparrow\uparrow}$ 
  \item $\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow\uparrow}+\ket{\downarrow\uparrow})$ 
  \item $\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow\uparrow}+\ket{\uparrow\downarrow})$ 
  \item $\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow})$
 \end{enumerate}

 
Digan cuales de esos estados son inicialmente estados producto (separables) y si luego de la compuerta cambiaron o no. Calcule la pureza de cada subsistema antes y después de la evolución, en cada caso.


\end{enumerate}
\end{document}

