\documentclass[a4,textcomp,12pt]{article}

\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}%para las tildes
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amsmath, amsfonts,amssymb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% Algunos Comandos Comodos
\newcommand{\bra}[1]{\left\langle{#1}\right\vert}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert{#1}\right\rangle}
\newcommand{\braket}[2]{\left\langle{#1}\vert{#2}\right\rangle}
\newcommand{\ketbra}[2]{\left\vert{#1}\right\rangle\!\!\left\langle{#2}\right\vert}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \textwidth=170mm 
 \textheight=245mm
 \oddsidemargin=-0.5cm %0 equivale a est a 1in o 2.54cm del borde
 \evensidemargin=0cm
 \topmargin=-1.5cm

\pagestyle{fancyplain}
\long\def\symbolfootnote[#1]#2{\begingroup%
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}\footnote[#1]{#2}\endgroup}


\begin{document}

\lhead[\fancyplain{}]{Física Teórica II}
\rhead[\fancyplain{}]{Práctica 10: Partículas Idénticas}



\begin{center}
{\Large \bf Física Teórica II} \\
{\large \bf Práctica 10: Partículas Idénticas\\}
\end{center}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
\begin{enumerate}
\item $N$ partículas id\'{e}nticas de espín $1/2$ est\'{a}n sometidas
a un potencial de oscilador arm\'{o}nico unidimensional. ¿Cu\'{a}l
es la energía del estado fundamental? 
\item Suponga $N=2$. Escriba el vector de estado del sistema correspondiente
al estado fundamental. ¿Existe alguna restricci\'{o}n para el valor
del espín total del sistema? Interprete físicamente. 
\end{enumerate}

\item Dos partículas distinguibles de espín $3/2$ sin impulso angular orbital
pueden acoplarse a $J=3$, $J=2$, $J=1$ o $J=0$. Suponga ahora
que las partículas son id\'{e}nticas. ¿Qu\'{e} restricciones se
obtienen?
\item Demuestre que dos fermiones id\'{e}nticos en una misma \'{o}rbita
$j$, s\'{o}lo se pueden acoplar a impulso total $J$ par. Use la
antisimetría de la funci\'{o}n de onda, o sea $\phi(j^{2},m,m')=-\phi(j^{2},m',m)$
y la propiedad de los Clebsch-Gordan\[
\left\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\right\rangle =(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\left\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\right\rangle .\]

\item Demuestre que dos bosones con un mismo impulso angular $l$, s\'{o}lo
se pueden acoplar a impulso total $L$ par. Use la simetría de la
funci\'{o}n de onda, o sea $\phi(l^{2},m,m')=\phi(l^{2},m',m)$ y
la propiedad de los Clebsch-Gordan \[
\left\langle l_{1}m_{1}l_{2}m_{2}|LM\right\rangle =(-1)^{l_{1}+l_{2}-L}\left\langle l_{2}m_{2}l_{1}m_{1}|LM\right\rangle .\]
 Indique similitudes y diferencias con el caso de dos fermiones id\'{e}nticos
de espín $1/2$.

\item Construya los posibles estados de varias part\'iculas en cada uno de los 
siguientes casos:
\begin{enumerate}
\item 2 bosones de esp\'in 1.
\item 3 bosones de esp\'in 1.
\item 2 fermiones de esp\'in 7/2.
\end{enumerate}
%
%\item Sean dos part\'iculas en la \'orbita $N=2$ del oscilador arm\'onico is\'otropo
%y tridimensional. Considere que dichas part\'iculas son:
%\begin{enumerate}
%\item fermiones de esp\'in 1/2.
%\item bosones de esp\'in 0.
%\end{enumerate}
%De un listado de los posibles estados de dos part\'iculas utilizando las siguientes 
%bases:
%\begin{enumerate}
%\item $l_1$ $l_2$ $s_1$ $s_2$ $m_{l_1}$ $m_{l_2}$ $m_{s_1}$ $m_{s_2}$
%\item $l_1$ $l_2$ $s_1$ $s_2$ $j_1$ $j_2$ $m_{j_1}$ $m_{j_2}$
%\item $l_1$ $l_2$ $s_1$ $s_2$ $j_1$ $j_2$ $J$ $m_J$
%\end{enumerate}
%Podr\'ia calcular en forma simple el n\'umero de estados en cada caso?
%
%Ayuda: recordar que para una part\'icula bajo la acci\'on de un potencial de O.A. 
%tridimensional e is\'otropo se cumple $E_N=\hbar \omega \big(N+\frac{3}{2}\big)$, en donde
%$N=k+l$, con $k$ un n\'umero par. (Ver, por ejemplo, Cohen, p\'ag. 818).


\item Tres partículas id\'{e}nticas de espín 0 est\'{a}n situadas en los
v\'{e}rtices de un tri\'{a}ngulo equilatero. El eje $z$ es perpendicular
al plano del tri\'{a}ngulo y pasa por su centro. Todo el sistema
puede rotar libremente alrededor de dicho eje. Obtenga restricciones
para los valores posibles de $J_{z}$.
\item Considere tres partículas id\'{e}nticas de espín 1 que interact\'{u}an
d\'{e}bilmente. 

\begin{enumerate}
\item Suponga que se sabe que la parte espacial del vector de estado es
sim\'{e}trico respecto del intercambio de cualquier par de partículas.
Utilizando la notaci\'{o}n $|+\rangle|0\rangle|+\rangle$ para el
caso en que la partícula 1 est\'{a} en $m_{s}=1$, la partícula 2
en $m_{s}=0$ y la partícula 3 en $m_{s}=1$, construya los estados
de espín normalizados en los siguientes tres casos: 

\begin{enumerate}
\item [{\it i})]Las tres partículas en el estado $|+\rangle$. 
\item [{\it ii})]Dos de ellas en $|+\rangle$, la otra en $|0\rangle$. 
\item [{\it iii})]Las tres en diferentes estados de espín.\\ ¿Cu\'{a}l
es el espín total en cada caso? 
\end{enumerate}
\item Trate de resolver el mismo problema cuando la parte espacial es antisim\'{e}trica
ante el intercambio de cualquier par de partículas. 
\end{enumerate}
\item Dos fermiones id\'{e}nticos de espín $1/2$ se mueven en una dimensi\'{o}n
bajo el efecto de un potencial de pozo infinito \[
V(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\infty & \mbox{ para }x<0,x>L\\
0 & \mbox{ para }0\leq x\leq L\end{array}\right.\]


\begin{enumerate}
\item Escriba la funci\'{o}n de onda y la energía del estado fundamental
cuando las dos partículas se encuentran en un triplete de espín. 
\item Repita (a) cuando las partículas se encuentran en el singlete de espín. 
\end{enumerate}
\item Considere la colisi\'{o}n el\'{a}stica de dos partículas id\'{e}nticas
en el sistema centro de masa de las mismas. Obtenga las amplitudes
y probabilidades de transici\'{o}n de un estado anterior a la colisi\'{o}n
a otro posterior seg\'{u}n se trate de fermiones o bosones. Interprete
el t\'{e}rmino de interferencia en ambos casos. 



\end{enumerate}
\end{document}

