Perturbaciones degeneradas, caso anomalo: Problema 5

H0=DiagonalMatrix[{E0,E1,E1,E1}];
MatrixForm[H0]
V=a{{0,1,0,1},{1,2,-1,-1},{0,-1,2,-1},{1,-1,-1,2}};
MatrixForm[V]
Vdeg=a{{2,-1,-1},{-1,2,-1},{-1,-1,2}};
MatrixForm[Vdeg]

Exacto

EnergiesExact=Sort[Eigenvalues[H0+V]/.{E0->1,E1->1.5,a->0.025}]

N[Eigensystem[H0+V]/.{E0->1,E1->1.5,a->0.025}]

N[Eigensystem[H0+V]/.{E0->1,E1->1.5,a->2.5*10^(-3)},15]

Primer Orden

Nivel no degenerado

(*Energia, No hay correccion , elemento de matriz nulo*)
delta1E0=V[[1,1]];
E0Orden1=E0+delta1E0

(*Autoestado de orden cero, no hay correccion*)
V0Orden0={1,0,0,0}

Nivel  degenerado

(*Energias, no se rompe totalmente la degeneracion*)
delta2E0=Sort[Eigenvalues[Vdeg]]
E1Orden1=Prepend[E1+Sort[Eigenvalues[Vdeg]],E0]
EnegiasOrden1=Prepend[E1+Sort[Eigenvalues[Vdeg]],E0]/.{E0->1,E1->1.5,a->0.025}

(*Autoestado de orden cero, hay correccion*)
{delta1E1,eigenVector}=Sort[Eigensystem[Vdeg]]

V1Orden0=Prepend[eigenVector[[1]],0]
E1Orden1=E1+delta1E1[[1]]/.{E1->1.5}

Persiste la  degeneracion, quedan indeterminados dos autoestados a  orden cero, con autoenergias E1+3a.
Debemos hacer el calculo de energias a segundo orden para obtener los autoestados a orden cero.

Segundo Orden

Nivel no degenerado

(*Energia*)
delta2E0=Sum[V[[1,k]](1/(E0-E1))V[[k,1]],{k,2,4}]
E0Orden2=E0+delta2E0
N[E0Orden2/.{E0->1,E1->1.5,a->0.025}]

(*Autoestado*)
V0Orden1={1,0,0,0}+Table[Sum[V[[k,i]](1/(E0-E1)),{k,2,4}],{i,1,4}]
N[V0Orden1/.{E0->1,E1->1.5,a->0.025}]

No cambia en primer orden el autoestado normalizado

Nivel  degenerado

(*Energias*)
Mdeg2=Table[Sum[V[[m,k]](1/(E1-E0))V[[k,n]],{k,1,1}],{m,2,4},{n,2,4}]
Sort[Eigensystem[Vdeg+Mdeg2]] (*No sale analiticamente*)
{delta2E2,eigenVector}=Sort[Eigensystem[Vdeg+Mdeg2]] /.{E0->1,E1->1.5,a->0.025}
Energias2=E1+delta2E2/.{E1->1.5}

Se rompe la degeneracion, quedan determinados los autoestados a orden uno.

Plots

E0=1;E1=1.5;
EigenV=Table[{a,Sort[Eigenvalues[H0+V]]},{a,0,1,0.01}];
EigenVP=Table[{a,Sort[Eigenvalues[Vdeg+Mdeg2]]},{a,0,1,0.01}];

Energia1=Interpolation[Table[{EigenV[[k]][[1]],EigenV[[k]][[2,1]]},{k,1,100}]];
Energia2=Interpolation[Table[{EigenV[[k]][[1]],EigenV[[k]][[2,2]]},{k,1,100}]];
Energia3=Interpolation[Table[{EigenV[[k]][[1]],EigenV[[k]][[2,3]]},{k,1,100}]];
Energia4=Interpolation[Table[{EigenV[[k]][[1]],EigenV[[k]][[2,4]]},{k,1,100}]];
Plot[{Energia1[a],Energia2[a],Energia3[a],Energia4[a]},{a,0,1}]

Energias Exactas vs a

Energia1P[a_]:=E0+((2 (a^2))/(E0-E1))
Energia2P=Interpolation[Table[{EigenVP[[k]][[1]],E1+EigenVP[[k]][[2,1]]},{k,1,101}]];
Energia3P=Interpolation[Table[{EigenVP[[k]][[1]],E1+EigenVP[[k]][[2,2]]},{k,1,101}]];
Energia4P=Interpolation[Table[{EigenVP[[k]][[1]],E1+EigenVP[[k]][[2,3]]},{k,1,101}]];
Plot[{Energia1P[a],Energia2P[a],Energia3P[a],Energia4P[a]},{a,0,1}]

Energias en Perturbaciones vs a

Exactas y Perturbativos por nivel vs a

Plot[{Energia1[a],Energia1P[a]},{a,0,0.5}]

Plot[{Energia2[a],Energia2P[a]},{a,0,0.5}]

Plot[{Energia3[a],Energia3P[a]},{a,0,.5}]

Plot[{Energia4[a],Energia4P[a]},{a,0,0.5}]