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Apéndice

Aproximaciones de Stirling

El logaritmo de un número combinatorio es:

\log{n \choose k} &= \log{\frac{n!}{k!(n-k)!}} \\ &= \log{n!} - \log{k!} - \log{(n-k)!} \\ &= n \log{n} - n - k \log{k} + k - (n - k) \log{(n - k)} + (n - k)\\ &= n\log{n} - k \log{k} - (n - k) \log{(n-k)} \\

definiendo x = k/n,

\log{n \choose k} &= n (\log{n} - x \log{k} - (1 - x) \log{(n-k)}) \\ &= n ((1 - x + x) \log{n} - x \log{k} - (1 - x) \log{(n-k)}) \\ &= n (- x (\log{k} - \log{n}) - (1 - x) (\log{(n-k)} - \log{n})) \\ &= n (- x \log{x} - (1 - x) \log{(1-x)}) \\

notar que 0 < x < 1, por lo que la expresión es siempre positiva.

Algunas derivadas útiles

(x \log{x})' &= x' \log{x} + x (\log{x})' \\ &= \log{x} + x /x \\ &= 1 + \log{x}

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