Problemas
Formalismos de la Física Cuántica (3):
Operadores lineales, unitarios y hermíticos

  1. Repaso de operadores lineales
    1.
    Mostrar que la traza de un operador es invariante respecto a su representación. (o sea, es la misma independientemente de la base ortonormal en que esté escrita la matriz).
    2.
    Encontrar algún ejemplo de la propiedad anterior.
    3.
    Sea $\hat{A}(t)$ un operador que depende de una variable $t$, y supongamos que la derivada $\frac{d \hat{A}}{dt}$ existe. Encontrar los elementos de matriz de esta derivada en una base de vectores independientes de $t$.
    4.
    Encontrar los elementos de matriz de $\frac{d (\hat{A}\hat{B})}{dt}$
    5.
    Calcular $e^{ \hat{A}t}$
    6.
    (*) Supongamos dos operadores $\hat{A}$ y $\hat{B}$ que conmutan con $[\hat{A},\hat{B}]$. Se define al operador
    $\displaystyle \hat{F}(t) = e^{\hat{A}t} e^{\hat{B}t} .$      

    Se debe demostrar que
    $\displaystyle \hat{F}(t) = e^{(\hat{A} +\hat{B})t} e^{\frac{1}{2}[\hat{A},\hat{B}]t^2} .$      

    Ayuda:
    a)
    Derivar $\frac{d\hat{F}}{dt}$
    b)
    Hallando $[e^{\hat{A}t},\hat{B}]$, cacular $e^{\hat{A}t}\hat{B}$
    c)
    Reemplazar esta expresión en 1(6)a
    d)
    Integrar $\frac{d\hat{F}}{dt}$ (incluyendo condición inicial)

  2. Repaso de operadores unitarios
    1.
    Sea $\hat{T}=e^{-i\hat{A}}$, donde $\hat{A}$ es un operador hermítico. Demostrar que $\hat{T}$ es unitario.
    2.
    El producto de dos operadores unitarios, es unitario?
    3.
    Mostrar que los autovalores de un operador unitario tienen módulo 1
    4.
    Mostrar, utilizando la propiedad anterior, que si dos autovectores de un operador unitario tienen distintos autovalores (o sea, no estan degenerados), entonces son ortogonales.

  3. Operadores Hermíticos:
    1.
    Señalar cuáles de los siguientes operadores son Hermíticos:
    a)
    $\hat{x}$
    b)
    $\hat{p_x} = -i\hbar \frac{d}{dx}$
    c)
    $\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}$
    d)
    $\hat{W} = \hat{S} + \hat{J}$ ($\hat{S}$ y $\hat{J}$ son Hermíticos)
    e)
    $\hat{W} = \hat{S} + i\hat{J}$
    2.
    Demostrar que los valores propios de un operador Hermítico son reales.
    3.
    Demostrar que las funciones propias de un operador Hermítico (no degenerado) son ortogonales.

  4. Elementos de álgebra matricial:
    1.
    Sea $\hat{U}$ la transformación que cambia una base $\{ \psi_n \}$ en una nueva base $\{ f_n \}$. Expresar los elementos de esta matriz.
    2.
    Mostrar que el producto interno se preserva bajo una transformación unitaria.
    3.
    Sea $\hat{F}$ una matriz cuyos elementos en la base $\{ \psi_n \}$ son
    $\displaystyle F_{nq} = \langle \psi_n \vert \hat{F} \vert \psi_q \rangle .$      

    En la base $\{ f_n \}$ representamos la matriz como
    $\displaystyle \tilde{F}_{nq} = \langle f_n \vert \hat{F} \vert f_q \rangle .$      

    Mostrar que $\tilde{F}_{nq} = (\hat{U}\hat{F}\hat{U}^{-1})_{nq}$
    4.
    Comparar los autovalores de $\hat{A}$ y $\hat{U}^{-1}\hat{A}\hat{U}$
    5.
    Si los autovalores de $\hat{A}$ son $\{ \psi_n \}$, cuáles son los autovalores de $\hat{U}^{-1}\hat{A}\hat{U}$?

  5. Operador Paridad
    El Operador Paridad $\hat{\cal{P}}$ se define como
    $\displaystyle \hat{\cal{P}} f(r) \equiv f(-r)$      

    1.
    Encontrar dos autovalores y autovectores de éste operador
    2.
    >Qué degeneración tienen?
    3.
    Mostrar que $\{ \hat{\cal{P}},\hat{p} \} = 0$
    4.
    Mostrar que $\hat{\cal{P}}$ conmuta con $\hat{T}$
    5.
    Supongamos que una partícula en un pozo infinito entre $-L/2$ y $L/2$ se encuentra inicialmente en el estado
    $\displaystyle \Psi(x,0) = \sqrt{\frac{2}{45 L}} \left[ 6 \sin{(2\pi x/L)} + 3 \cos{(\pi x/L)} \right]$      

    a)
    Calcular $\langle \cal{P} \rangle$ inicialmente
    b)
    Si tenemos inicialmente un ensamble de 4500 cajas idénticas, cuántas (aproximadamente) de ellas estarán en un estado par?
    c)
    Repetir la pregunta para un tiempo $t>0$
    d)
    Calcular $\langle \cal{P} \rangle$ para una partícula que inicialmente se encuentra en la siguiente combinación de estados estacionarios
    $\displaystyle \Psi(x,0) = \sqrt{\frac{1}{29}} ( 3\varphi_2 + 4\varphi_4 + 2\varphi_3)$      

    e)
    Supongamos que no sabemos el estado de la partícula en este pozo, pero que medimos $E_1$, $E_2$ y $E_3$ con probabilidad 1/3, y su paridad es $-1$. Si medimos luego la energía, >qué valor de $\hat{\cal{P}}$ encontraremos?
    f)
    >Cambia la respuesta si decimos que la paridad inicial era $+1$?

  6. Proyector Paridad
    Para cualquier funcion $f(x)$ definimos unas funciones
    $\displaystyle f_{\pm} (x) \equiv \frac{f(x) \pm f(-x)}{2}$      

    y unos proyectores
    $\displaystyle \hat{\cal{P}}_{\pm} \equiv \frac{\hat{\mathbf{I}} \pm \hat{\cal{P}}}{2}$      

    1. Mostrar que $f_+(x)$ es una función par y $f_-(x)$ impar
    2. Calcular $\hat{\cal{P}}_{\pm} f(x)$. Esto explica el nombre de proyector.
    3. Mostrar las siguientes propiedades de los proyectores
      i.
      $\hat{\cal{P}}_{\pm} ^2 = \hat{\cal{P}}_{\pm}$
      ii.
      $[\hat{\cal{P}}_+, \hat{\cal{P}}_-]=0$
      iii.
      $\hat{\cal{P}}_+ + \hat{\cal{P}}_- = \hat{\mathbf{I}}$


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