Problemas
Atomo de Hidrógeno (2)

  1. Corrección Relativista
    1. Demostrar que el término de corrección relativista a la energía cinética es
      $\displaystyle H_{\mathrm rel} = -\frac{p^4}{8 m^3 c^2}$      

    2. Demostrar que en primer orden de teoría de perturbaciones, la corrección a la energía en los iones hidrogenoides es
      $\displaystyle \Delta_{\mathrm rel} = -\frac{1}{2 m c^2} \left[ E_n^2 + 2 E_n (\... ...rac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0})^2 {\langle \frac{1}{r^2} \rangle}_{nlm_l} \right]$      

    3. Demostrar que la corrección anterior es igual a
      $\displaystyle \Delta_{\mathrm rel} = -E_n \frac{(Z \alpha)^2}{n^2} \left[ \frac{3}{4} - \frac{n}{l + 1/2} \right]$      

    4. Comparar las correcciones relativistas (relativas y absolutas) en los estados $1s$ y $2s$ y $2p$ del hidrógeno, junto con las $2s$ del C$^{5+}$ y la $22p$ del U$^{91+}$. A partir de qué ion se debe tener en cuenta esta corrección para tener los valores de energías aceptables en un 0.5%?

  2. Corrección Spin-Orbita

    El término de corrección spin-órbita se escribe

    $\displaystyle H_{\mathrm so} = \frac{1}{2 m^2 c^2} \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r} {\mathbf L}\cdot {\mathbf S} ~~~.$      

    1. Calcular $\langle Y_{l_1}^m \vert H_{\mathrm so} \vert Y_{l_2}^m \rangle$ para $l_1 \neq l_2$.

    2. Expresando
      $\displaystyle H_{\mathrm so} = \xi(r) {\mathbf L}\cdot {\mathbf S} ~~~,$      

      calcular $\xi(r)$ para el potencial Coulombiano.

    3. Demostrar que el valor de la corrección spin-órbita en primer orden de teoría de perturbación es
      $\displaystyle \Delta_{\mathrm so} = \frac{\hbar^2}{2} \langle \xi(r) \rangle \left[ j(j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4} \right]$      

    4. Tomando en cuenta que el valor medio
      $\displaystyle \langle \frac{1}{r^3} \rangle = \frac{Z^3}{a_0^3 n^3 l(l+1/2)(l+1)} ~~~,$      

      calcular el valor de la corrección para los casos generales $j=l \pm 1/2$.

    5. Calcular la corrección spin-órbita para los casos pedidos en el punto (1d).

  3. Corrección de Darwin

    El término de Darwin se escribe

    $\displaystyle H_{\mathrm Darwin} = \frac{\pi \hbar^2}{2 m^2 c^2} \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0} \delta(r) \delta_{l0} ~~~.$      

    1. Expresar la corrección de Darwin en forma general, para los diferentes números cuánticos $nlm$.

    2. Expresar la corrección total, dada por la suma de los términos relativistas, spin-órbita y Darwin.

    3. Obtener las energías, correctas a primer orden perturbativo, de los estados señalados en el punto (1d).

    4. Comparar la expresión de la energía con el resultado exacto que se obtiene resolviendo la ecuación de Dirac
      $\displaystyle E_{nj} = mc^2 \left\{ \left[ 1 + \left( \frac{Z \alpha} {n - j - 1/2 + [(j+1/2)^2 - Z^2 \alpha^2]^{1/2} } \right)^2 \right]^{-1/2} -1 \right\} ~~~.$      

    5. Utilizando los resultados anteriores, comprobar que el espectro del átomo de hidrógeno coincide con los dados en las Figuras 1 y 2

      Figure 1: Estructura fina del átomo de Hidrógeno.
      \begin{figure}\centerline{\psfig{figure=hfina.eps,width=15.5 cm,angle=-0} }\end{figure}



      Figure 2: Detalle de la estructura fina del átomo de Hidrógeno, para $n=2$.
      \begin{figure}\centerline{\psfig{figure=hfina2.eps,width=15.5 cm,angle=-0} }\end{figure}




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Darío Mitnik
U.B.A.